summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/doc/readme.tm
blob: c3fbafb40edcf3186ce2672fd438b9cd39ef4814 (plain) (blame)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1036
1037
1038
1039
1040
1041
1042
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
1124
1125
1126
1127
1128
1129
1130
1131
1132
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139
1140
1141
1142
1143
1144
1145
1146
1147
1148
1149
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200
1201
1202
1203
1204
1205
1206
1207
1208
1209
1210
1211
1212
1213
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220
1221
1222
1223
1224
1225
1226
1227
1228
1229
1230
1231
1232
1233
1234
1235
1236
1237
1238
1239
1240
1241
1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248
1249
1250
1251
1252
1253
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
1285
1286
1287
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
1321
1322
1323
1324
1325
1326
1327
1328
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350
1351
1352
1353
1354
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
1377
1378
1379
1380
1381
1382
1383
1384
1385
1386
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
1394
1395
1396
1397
1398
1399
1400
1401
1402
1403
1404
1405
1406
1407
1408
1409
1410
1411
1412
1413
1414
1415
1416
1417
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
1431
1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1442
1443
1444
1445
1446
1447
1448
1449
1450
1451
1452
1453
1454
1455
1456
1457
1458
1459
1460
1461
1462
1463
1464
1465
1466
1467
1468
1469
1470
1471
1472
1473
1474
1475
1476
1477
1478
1479
1480
1481
1482
1483
1484
1485
1486
1487
1488
1489
1490
1491
1492
1493
1494
1495
1496
1497
1498
1499
1500
1501
1502
1503
1504
1505
1506
1507
1508
1509
1510
1511
1512
1513
1514
1515
1516
1517
1518
1519
1520
1521
1522
1523
1524
1525
1526
1527
1528
1529
1530
1531
1532
1533
1534
1535
1536
1537
1538
1539
1540
1541
1542
1543
1544
1545
1546
1547
1548
1549
1550
1551
1552
1553
1554
1555
1556
1557
1558
1559
1560
1561
1562
1563
1564
1565
1566
1567
1568
1569
1570
1571
1572
1573
1574
1575
1576
1577
1578
1579
1580
1581
1582
1583
1584
1585
1586
1587
1588
1589
1590
1591
1592
1593
1594
1595
1596
1597
1598
1599
1600
1601
1602
1603
1604
1605
1606
1607
1608
1609
1610
1611
1612
1613
1614
1615
1616
1617
1618
1619
1620
1621
1622
1623
1624
1625
1626
1627
1628
1629
1630
1631
1632
1633
1634
1635
1636
1637
1638
1639
1640
1641
1642
1643
1644
1645
1646
1647
1648
1649
1650
1651
1652
1653
1654
1655
1656
1657
1658
1659
1660
1661
1662
1663
1664
1665
1666
1667
1668
1669
1670
1671
1672
1673
1674
1675
1676
1677
1678
1679
1680
1681
1682
1683
1684
1685
1686
1687
1688
1689
1690
1691
1692
1693
1694
1695
1696
1697
1698
1699
1700
1701
1702
1703
1704
1705
1706
1707
1708
1709
1710
1711
1712
1713
1714
1715
1716
1717
1718
1719
1720
1721
1722
1723
1724
1725
1726
1727
1728
1729
1730
1731
1732
1733
1734
1735
1736
1737
1738
1739
1740
1741
1742
1743
1744
1745
1746
1747
1748
1749
1750
1751
1752
1753
1754
1755
1756
1757
1758
1759
1760
1761
1762
1763
1764
1765
1766
1767
1768
1769
1770
1771
1772
1773
1774
1775
1776
1777
1778
1779
1780
1781
1782
1783
1784
1785
1786
1787
1788
1789
1790
1791
1792
1793
1794
1795
1796
1797
1798
1799
1800
1801
1802
1803
1804
1805
1806
1807
1808
1809
1810
1811
1812
1813
1814
1815
1816
1817
1818
1819
1820
1821
1822
1823
1824
1825
1826
1827
1828
1829
1830
1831
1832
1833
1834
1835
1836
1837
1838
1839
1840
1841
1842
1843
1844
1845
1846
1847
1848
1849
1850
1851
1852
1853
1854
1855
1856
1857
1858
1859
1860
1861
1862
1863
1864
1865
1866
1867
1868
1869
1870
1871
1872
1873
1874
1875
1876
1877
1878
1879
1880
1881
1882
1883
1884
1885
1886
1887
1888
1889
1890
1891
1892
1893
1894
1895
1896
1897
1898
1899
1900
1901
1902
1903
1904
1905
1906
1907
1908
1909
1910
1911
1912
1913
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
1923
1924
1925
1926
1927
1928
1929
1930
1931
1932
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
2026
2027
2028
2029
2030
2031
2032
2033
2034
2035
2036
2037
2038
2039
2040
2041
2042
2043
2044
2045
2046
2047
2048
2049
2050
2051
2052
2053
2054
2055
2056
2057
2058
2059
2060
2061
2062
2063
2064
2065
2066
2067
2068
2069
2070
2071
2072
2073
2074
2075
2076
2077
2078
2079
2080
2081
2082
2083
2084
<TeXmacs|1.0.7.18>

<style|article>

<\body>
  <doc-data|<doc-title|scade-analyzer>|<doc-subtitle|note de r�f�rence>>

  <section|Introduction>

  Le projet consiste en la r�alisation d'un analyseur statique pour des
  programmes SCADE, utilisant l'interpr�tation abstraite comme base de
  travail. Les objectifs vis�s sont :

  <\itemize>
    <item>Preuve de propri�t�s de s�ret� sur des programmes

    <item>�tude d'intervalles de variation pour des variables
  </itemize>

  Nos travaux se placent dans la continuit� de <cite|blanchetEtAl-PLDI03>,
  <cite|cousotCousot79-1>, <cite|halbwachs94c>, <cite|lesartse>,
  <cite|jhrsas99>.

  L'exp�rience a �t� men�e sur un sous-ensemble tr�s restreint du langage
  SCADE, comportant notamment :

  <\itemize>
    <item>noyau dataflow (op�rations arithm�tiques �l�mentaires, op�rateurs
    <verbatim|-\<gtr\>> et <verbatim|pre>), pas de prise en charge des
    horloges explicites (primitives <verbatim|when>, <verbatim|merge>, ...)

    <item>blocs <verbatim|activate>

    <item>automates simples, � transitions faibles seulement, sans actions
    sur les transitions (les transitions de type <verbatim|restart> sont
    prises en compte)
  </itemize>

  \;

  Dans ce document nous mettrons au clair les points suivants :

  <\enumerate>
    <item>Sp�cification du sous-ensemble de SCADE consid�r�

    <item>Explication du fonctionnement de l'interpr�te pour la s�mantique
    concr�te

    <item>Explication de la traduction d'un programme SCADE en une formule
    logique repr�sentant le cycle du programme

    <item>Explications sur l'interpr�tation abstraite en g�n�ral, sur les
    domaines num�riques, sur la recherche de points fixe

    <item>Explications sur notre adaptation de ces principes � l'analyse du
    langage SCADE, en particulier :

    <\itemize>
      <item>it�rations chaotiques

      <item>domaines capables de faire des disjonctions de cas (graphes de
      d�cision)
    </itemize>
  </enumerate>

  Par la suite, nous ne consid�rons que des programmes SCADE bien typ�s.

  \;

  <section|Sp�cification>

  <subsection|Grammaire>

  <\verbatim-code>
    <\verbatim>
      decl \ \ \ := CONST id: type = expr;

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| NODE (var_def;*) RETURNS (var_def;*) VAR var_def;*
      body

      var_def := (PROBE? id),* : type

      body \ \ \ := LET eqn;* TEL

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| eqn;

      type \ \ \ := INT \| BOOL \| REAL \| (TYPE,+)

      eqn \ \ \ \ := id = expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| GUARANTEE id : expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| ASSUME id : expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| AUTOMATON state* RETURNS id,*

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| ACTIVATE scope_if RETURNS id,*

      scope_if := (VAR var_def;*)? body

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| IF expr THEN scope_if ELSE scope_if

      state \ \ \ := INITIAL? STATE id

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ body

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ until*

      until \ \ \ := UNTIL IF expr (RESUME\|RESTART) id

      expr \ \ \ \ := int_const \| real_const \| TRUE \| FALSE \| id

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| unary_op expr \| expr bin_op expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| IF expr THEN expr ELSE expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| id ( expr,* )

      unary_op := - \| PRE \| NOT

      bin_op \ \ := + \| - \| * \| / \| -\<gtr\> \| AND \| OR \| MOD
    </verbatim>

    \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| = \| \<less\>\<gtr\> \| \<less\> \| \<gtr\> \|
    \<less\>= \| \<gtr\>=
  </verbatim-code>

  <subsection|S�mantique concr�te>

  Pour simplifier, on consid�re dans cette section que tous les noeuds ont
  �t� inlin�s.

  On note <math|\<bbb-X\>> l'ensemble des variables d�finies dans le texte du
  programme, et on note <math|\<bbb-V\>> l'ensemble des valeurs qui peuvent
  �tre prises.

  Un environnement de valeurs est une fonction
  <math|s:\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>> qui d�crit un �tat de la m�moire
  du programme. On d�finit aussi un sous-ensemble
  <math|\<bbb-V\><rsub|i>\<subset\>\<bbb-V\>> de variables dont les valeurs
  sont des entr�es du syst�me.

  L'ex�cution d'un programme est une s�quence d'�tats m�moire
  <math|s<rsub|0>\<nocomma\>,s<rsub|1>,\<ldots\>,s<rsub|n>,\<ldots\>>
  conforme � la sp�cification du programme et � une s�rie d'entr�es. On note
  :

  <\equation*>
    s<rsub|0><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|1>>s<rsub|1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|2>>s<rsub|2>\<rightarrow\>\<cdots\>
  </equation*>

  Dans la s�mantique par traduction, la s�mantique d'un programme est d�finie
  par traduction du programme <math|P> en une formule logique <math|F> telle
  que :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n-1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|n>>s<rsub|n>>|<cell|\<Leftrightarrow\>>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-V\><rsub|i>,s<rsub|n><around*|(|x|)>=i<rsub|n><around*|(|x|)>>>|<row|<cell|F<around*|(|s<rsub|n-1>,s<rsub|n>|)>>>>>>>>>>
  </eqnarray*>

  Dans la s�mantique par r�duction, la s�mantique d'un programme est d�finie
  par un ensemble de r�gles de r�duction qui aboutissent �

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n-1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|n>>s<rsub|n>>|<cell|\<Leftrightarrow\>>|<cell|<frac|s<rsub|n-1>\<Rightarrow\>i<rsub|n>|s<rsub|n-1>\<Rightarrow\>s<rsub|n>>>>>>
  </eqnarray*>

  Pour un programme bien typ�, �tant donn� <math|s<rsub|n-1>> et
  <math|i<rsub|n>>, il existe un unique �tat <math|s<rsub|n>> qui remplit la
  condition.

  Un scope <math|\<Sigma\>> correspond � un ensemble de d�finitions (de
  variables, d'automates, ou de blocs activate), identifi�s par un chemin.
  Chaque scope dispose d'une horloge propre. Pour traduire l'init et le
  reset, on introduit dans chaque scope <math|\<Sigma\>> plusieurs variables
  :

  <\itemize>
    <item><math|nreset<rsub|\<Sigma\>>> : indique que le scope devra �tre
    reset lors du prochain cycle

    <item><math|init<rsub|\<Sigma\>>> : indique que le scope est � l'�tat
    initial dans ce cycle

    <item><math|act<rsub|\<Sigma\>>> : indique qu'un scope est actif dans ce
    cycle
  </itemize>

  Un nouveau scope est introduit dans chaque body d'un bloc activate ou d'un
  �tat d'automate.

  De m�me, les automates introduisent deux variables :\ 

  <\itemize>
    <item><math|state<rsub|A>>, qui d�finit l'�tat de l'automate � ce cycle

    <item><math|nstate<rsub|A>>, qui d�finit l'�tat de l'automate au cycle
    suivant, en supposant qu'il n'y a pas de reset du scope o� l'automate est
    d�fini
  </itemize>

  L'�tat <math|s<rsub|0>> est d�fini par <math|s<rsub|0><around*|(|reset<rsub|/>|)>=tt>,
  o� <math|/> est le scope racine englobant tout le programme ; toutes les
  autres variables de <math|\<bbb-V\>> pouvant prendre n'importe quelle
  valeur.

  On suppose que chaque instance de <verbatim|pre> est num�rot�e. Pour chaque
  <math|pre<rsub|i> e>, on introduit la variable <math|m<rsub|i>> qui
  enregistre la valeur de <math|e> dans le cycle courant et qui sert de
  m�moire pour le pre lors du cycle suivant.

  Par la suite, que ce soit dans l'�tude de la s�mantique par r�duction ou
  par traduction, on notera toujours <math|l> la m�moire (c'est-�-dire
  <math|s<rsub|n-1>>) et <math|s> l'�tat courant (c'est-�-dire
  <math|s<rsub|n>>, sur lequel on travaille).

  <subsection|S�mantique par r�duction>

  On d�finit notre ensemble d'environnements comme �tant
  <math|\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>\<cup\><around*|{|\<epsilon\>|}>>, la
  valeur <math|\<epsilon\>> signifiant qu'une variable n'a pas encore pris sa
  valeur.

  Pour chaque �l�ment de programme, on va introduire un certain nombre de
  r�gles de r�duction. On applique ces r�gles jusqu'� en d�duire
  <math|l\<Rightarrow\>s>, avec <math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\>,s<around*|(|x|)>\<neq\>\<epsilon\>>.

  Les d�ductions de la forme <math|l\<Rightarrow\>s> signifient \S avec la
  m�moire <math|l>, on peut d�duire du syst�me l'�tat (partiel) <math|s> \T.
  Les d�ductions de la forme <math|l,s\<vDash\>e\<rightarrow\><rsub|\<Sigma\>><rsup|v>v>
  signifient \S avec la m�moire <math|l> et l'�tat partiellement calcul�
  <math|s>, l'expression <math|e> calcul�e dans le scope <math|\<Sigma\>>
  prend la valeur <math|v> \T (la fl�che <math|\<rightarrow\><rsub|\<Sigma\>><rsup|v>>
  correspond � une r�duction par valeur dans le scope <math|\<Sigma\>>).

  On notera <math|\<Sigma\>\<Vdash\>x=e> pour signifier \S dans le scope
  <math|\<Sigma\>> on a la d�finition <math|x=e> \T, de m�me pour les
  d�finitions de blocs activate et d'automates. On notera
  <math|\<Sigma\>\<Vdash\>pre<rsub|i> e> pour signifier que <math|pre<rsub|i>
  e> appara�t dans le scope <math|\<Sigma\>>.

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour l'activation du scope racine>

  On note <math|i> les entr�es du syst�me � ce cycle ; on fait par d�finition
  l'hypoth�se <math|l\<Rightarrow\>i>, c'est-�-dire qu'on peut obtenir
  l'environnement o� seules les variables d'entr�e sont d�finies. On
  introduit ensuite la r�gle suivante, qui dit que le scope racine est
  toujours actif et jamais reset par la suite :

  <\equation*>
    <frac|l\<Rightarrow\>s|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/>\<assign\>tt|]><around*|[|nreset<rsub|/>\<assign\>ff|]>>
  </equation*>

  \;

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour l'init dans tous les scopes>

  Pour tout scope <math|\<Sigma\>> d�fini dans le programme, qui est reset si
  et seulement si la condition <math|l,s\<vDash\>r> est vraie, on rajoute les
  r�gles de r�duction suivantes qui permettent de d�terminer si le scope est
  init ou pas :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>r<rsub|\<Sigma\>>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|\<Sigma\>>\<assign\>tt|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><rsup|>\<neg\>r<rsub|\<Sigma\>>>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|\<Sigma\>>\<assign\>ff|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><rsup|>\<neg\>r<rsub|\<Sigma\>>>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|\<Sigma\>>\<assign\>l<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>|]>>
  </equation*>

  \;

  En particulier, pour le scope racine on instancie ces r�gles avec
  <math|<around*|(|l,s\<vDash\>r<rsub|/>|)>\<Leftrightarrow\>l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=tt>

  <subsubsection|R�gles de r�duction d'expressions>

  Ces r�gles permettent d'exprimer le calcul d'une expression. On note
  <math|\<Sigma\>> le scope dans lequel l'expression est �valu�e. On note
  <math|\<odot\>> n'importe quel op�rateur binaire :
  <math|+,-,\<times\>,/,mod,\<less\>,\<gtr\>,\<leqslant\>,\<geqslant\>,=,\<neq\>,\<wedge\>,\<vee\>>.

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac||l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>c>,c\<in\>\<bbb-V\>>|<cell|>|<cell|<frac|s<around*|(|x|)>\<neq\>\<epsilon\>|l,s\<vDash\>x\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>s<around*|(|x|)>>,x\<in\>\<bbb-X\>>>>>
  </eqnarray*>

  <\equation*>
    <frac||l,s\<vDash\>pre<rsub|i> e\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>l<around*|(|m<rsub|i>|)>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|1>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|2>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|2>>>>>>|l,s\<vDash\>e<rsub|1>\<odot\>e<rsub|2>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>\<odot\>v<rsub|2>>
  </equation*>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|1>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>>>>>>|l,s\<vDash\><around*|(|e<rsub|1>\<rightarrow\>e<rsub|2>|)>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>=ff>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|2>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|2>>>>>>|l,s\<vDash\><around*|(|e<rsub|1>\<rightarrow\>e<rsub|2>|)>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|2>>>>>>
  </eqnarray*>

  <\equation*>
    etc\<ldots\>
  </equation*>

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les pre>

  Pour chaque expression <math|pre<rsub|i> e> introduite dans le scope
  <math|\<Sigma\>>, on donne les deux r�gles suivante :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|i>\<assign\>v|]>>,\<Sigma\>\<Vdash\>pre<rsub|i>
    e
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|i>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|i>|)>|]>>,\<Sigma\>\<Vdash\>pre<rsub|i>
    e
  </equation*>

  <\equation*>
    \;
  </equation*>

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les d�finitions de variables>

  Pour toute d�finition <math|x=e> apparaissant dans le scope
  <math|\<Sigma\>>, on donne la r�gle suivante :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|x\<assign\>v|]>>,\<Sigma\>\<Vdash\>x=e
  </equation*>

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les blocs activate>

  Pour tout bloc <math|activate if c then b<rsub|1> else b<rsub|2>>
  apparaissant dans le scope <math|\<Sigma\>>, on cr�e deux nouveaux scopes
  <math|\<Sigma\><rsub|1>> et <math|\<Sigma\><rsub|2>> dans lesquels on
  rajoute les r�gles de r�ductions pour <math|b<rsub|1>> et <math|b<rsub|2>>
  respectivement, et on rajoute les r�gles suivantes qui r�gissent
  l'activation des deux scopes <math|\<Sigma\><rsub|1>> et
  <math|\<Sigma\><rsub|2>> :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|1>>\<assign\>ff|]><around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|2>>\<assign\>ff|]>>
  </equation*>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|1>>\<assign\>tt|]><around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|2>>\<assign\>ff|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|1>>\<assign\>ff|]><around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|2>>\<assign\>tt|]>>>>>>
  </eqnarray*>

  (implicitement sur toutes les r�gles : <math|\<Sigma\>\<Vdash\>activate if
  c then b<rsub|1> else b<rsub|2>>)

  Les deux scopes <math|\<Sigma\><rsub|1>> et <math|\<Sigma\><rsub|2>>
  h�ritent de la condition de reset du scope <math|\<Sigma\>>.

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les automates>

  On se place dans le cadre <math|\<Sigma\>\<Vdash\>A>. On note
  <math|s<rsub|0>> l'�tat initial de <math|A>. Les r�gles d'activation des
  diff�rents scopes des �tats se font en fonction de la variable
  <math|state<rsub|A>> d�finie pour l'automate <math|A> comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>r<rsub|\<Sigma\>>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|state<rsub|A>=s<rsub|0>|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>\<neg\>r<rsub|\<Sigma\>>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|state<rsub|A>=l<around*|(|nstate<rsub|A>|)>|]>>>>>>
  </eqnarray*>

  Puis pour chaque �tat <math|s<rsub|i>>, on d�finit <math|\<Sigma\><rsub|i>>
  son scope dans lequel on traduit son corps, puis on rajoute la r�gle
  d'activation suivante :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|state<rsub|A>|)>=s<rsub|i>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>=tt|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|state<rsub|A>|)>\<neq\>s<rsub|i>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>=ff|]>>>>>>
  </eqnarray*>

  Dans tous les scopes <math|\<Sigma\><rsub|i>>, la condition de reset peut
  �tre �ventuellement augment�e d'un <math|\<vee\>> avec une condition du
  type <math|l<around*|(|nreset<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>|)>=t>, o� la variable
  <math|nreset<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>> est mise � <em|true> d�s que l'on
  emprunte une transition qui reset, et � <em|false> le reste du temps.

  La r�gle pour une transition <math|s<rsub|i><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|c>s<rsub|j>>
  sont du style :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|state<rsub|A>|)>=s<rsub|i>>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsub|\<Sigma\>><rsup|v>tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|nstate<rsub|A>\<assign\>s<rsub|j>|]>>
  </equation*>

  � cela, il faut rajouter les conditions qui disent que l'on emprunte
  exactement une transition � chaque cycle, ainsi que la partie qui d�finit
  les variables <math|nreset<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>>.

  <\example>
    On va �crire les r�gles de r�duction qui d�finissent le programme suivant
    :

    <\verbatim-code>
      node half() returns(c: int)

      var half: bool;

      \ \ \ \ a, b: int;

      \ \ \ \ la, lb: int;

      let

      \ \ half = true -\<gtr\> not pre half;

      \ \ activate

      \ \ \ \ if half then let

      \ \ \ \ \ \ \ \ a = la + 1;

      \ \ \ \ \ \ \ \ b = lb;

      \ \ \ \ tel else let

      \ \ \ \ \ \ \ \ a = la;

      \ \ \ \ \ \ \ \ b = lb + 1;

      \ \ \ \ tel

      \ \ returns a, b;

      \ \ la = 0 -\<gtr\> pre a;

      \ \ lb = 0 -\<gtr\> pre b;

      \ \ c = a - b;

      tel
    </verbatim-code>

    Les r�gles de calcul des expressions sont tout le temps les m�mes. Les
    r�gles d�duites de la structure du programme sont les suivantes :

    Initialisation :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|l\<Rightarrow\>s|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/>\<assign\>tt|]><around*|[|nreset<rsub|/>\<assign\>ff|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s
      >|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|/>\<assign\>tt|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s
      >|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=ff>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|/>\<assign\>ff|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s
      >|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=ff>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|/>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|/>\<assign\>l<around*|(|init<rsub|/>|)>|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    D�finition <verbatim|c = a - b> (la r�duction par valeur de <math|a-b> en
    une valeur <math|v> se fait selon les r�gles donn�es ci-dessus) :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>a-b\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|c\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    D�finitions de <verbatim|la<math|>> et <verbatim|lb> :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><around*|(|0\<rightarrow\>pre<rsub|1>|)>
      a\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|la\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><around*|(|0\<rightarrow\>pre<rsub|2>
      b|)>\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|lb\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    D�finition de <verbatim|half> :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><around*|(|true\<rightarrow\>not
      pre<rsub|3> half|)>\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|half\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    M�morisation des valeurs pour <verbatim|pre a>, <verbatim|pre b> et
    <verbatim|pre half> (on �crit aussi les r�gles pour le cas o� le scope
    est inactif � titre d'exemple simplement ; en pratique celles-ci sont
    �limin�es puisque le scope racine est toujours actif) :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>a\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|1>\<assign\>v|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|1>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|1>|)>|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>b\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|2>\<assign\>v|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|2>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|2>|)>|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>half\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|3>\<assign\>v|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|3>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|3>|)>|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    Activation des deux moiti�s du activate :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>half\<rightarrow\>tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/1>:=tt|]><around*|[|act<rsub|/2>\<assign\>ff|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>half\<rightarrow\>ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/1>:=ff|]><around*|[|act<rsub|/2>\<assign\>tt|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/1>:=ff|]><around*|[|act<rsub|/2>\<assign\>ff|]>>
    </equation*>

    D�finition de <verbatim|a> et <verbatim|b> dans la premi�re moiti� :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/1>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>la+1\<rightarrow\><rsub|/1><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|a\<assign\>v|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/1>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>lb\<rightarrow\><rsub|/1><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|b\<assign\>v|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    Et dans la deuxi�me moiti� :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/2>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>la\<rightarrow\><rsub|/2><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|a\<assign\>v|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/2>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>lb+1\<rightarrow\><rsub|/2><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|b\<assign\>v|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    Et c'est tout.
  </example>

  (il faudrait faire un exemple avec des automates, mais �a risque d'�tre
  encore plus long !)

  <subsection|S�mantique par traduction, r�gles de traduction>

  On d�finit la traduction de <math|P> en une formule
  <math|F<around*|(|l,s|)>> comme suit.

  <subsubsection|Traduction des expressions num�riques et bool�ennes>

  On utilise des formules ``� trous'' pour faire la traduction. Un trou
  <math|\<box\>> correspond � la fonction <math|e\<mapsto\>e>, une formule
  <math|a\<wedge\>x=\<box\>> correspond � la fonction
  <math|e\<mapsto\>a\<wedge\>x=e>, etc. L'argument d'une formule � trou peut
  aussi �tre un couple d'expressions, ainsi
  <math|\<box\><rsub|1>+\<box\><rsub|2>> correspond � la fonction
  <math|<around*|(|e,f|)>\<mapsto\>e+f>.

  On d�finit la fonction <math|T<around*|(|\<Sigma\>,e,w|)>> comme �tant la
  traduction de l'expression <math|e> consid�r�e dans le scope
  <math|\<Sigma\>> et devant �tre plac�e dans le trou <math|w>. En pratique,
  on divise <math|T> en deux fonctions, une pour les expressions bool�ennes
  et une pour les expressions num�riques. Le r�sultat d'une traduction doit
  �tre une formule bool�enne.

  Les r�gles sont les suivantes :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|e<rsub|1>,e<rsub|2>,\<ldots\>,e<rsub|n>|)>,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>,\<lambda\>f<rsub|1>.T<around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|e<rsub|2>,\<ldots\>,e<rsub|n>|)>,w<around*|[|f<rsub|1>,\<box\><rsub|1>,\<ldots\>,\<box\><rsub|n-1>|]>|)>|)>>>|<row|<cell|\<forall\>c\<in\>\<bbb-V\>,<text|
    \ \ \ \ \ \ \ >T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,c,w|)>>|<cell|=>|<cell|w<around*|[|c|]>>>|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\>,<text|
    \ \ \ \ \ \ >T<around*|(|\<Sigma\>,x,w|)>>|<cell|=>|<cell|w<around*|[|s<around*|(|x|)>|]>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,pre<rsub|i>
    e,w|)>>|<cell|=>|<cell|w<around*|[|l<around*|(|m<rsub|i>|)>|]>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>\<rightarrow\>e<rsub|2>,w|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>,w|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|2>,w|)>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>\<odot\>e<rsub|2>,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|e<rsub|1>,e<rsub|2>|)>,w<around*|[|\<box\><rsub|1>\<odot\>\<box\><rsub|2>|]>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,if
    c then e<rsub|1> else e<rsub|2>,w|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|T<around*|(|\<Sigma\>,c,\<box\>|)>\<wedge\>T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>,w|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>T<around*|(|\<Sigma\>,c,\<box\>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|2>,w|)>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,-e,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e,w<around*|[|-\<box\>|]>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,\<neg\>e,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e,w<around*|[|\<neg\>\<box\>|]>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Par la suite, on d�finira la fonction de traduction d'une d�finition par :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|T<rsub|def><around*|(|\<Sigma\>,x=e|)>>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Dans le cas d'une multi-affectation <math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>=e>,
  on utilisera la traduction suivante :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|T<rsub|def><around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>=e|)>|)>>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e,s<around*|(|x<rsub|1>|)>=\<box\><rsub|1>\<wedge\>*\<cdots\>*\<wedge\>s<around*|(|x<rsub|n>|)>=\<box\><rsub|n>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Dans le cas o� l'on doit traduire une instanciation de noeud
  <math|n<rsub|i><around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|m>|)>> (c'est le cas
  dans notre impl�mentation puisqu'on ne fait pas d'inlining), on nomme
  <math|r<rsub|1>,\<ldots\>,r<rsub|n>> les valeurs renvoy�es par le noeud et
  on utilise la r�gle <math|T<around*|(|\<Sigma\>,n<rsub|i><around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|m>|)>,w|)>=w<around*|[|s<around*|(|r<rsub|1>|)>,\<ldots\>,s<around*|(|r<rsub|n>|)>|]>>.
  Il faut par ailleurs g�n�rer la traduction des d�finitions donn�es dans le
  noeud et s'occuper de passer les arguments (nomm�s
  <math|arg<rsub|1>,\<ldots\>,arg<rsub|m>>), en introduisant des �quations du
  type <math|T<around*|(|\<Sigma\>,v<rsub|i>,s<around*|(|arg<rsub|i>|)>=\<box\>|)>>.

  <\example>
    Effectuons par exemple la traduction de <math|x=if y\<geqslant\>0 then y
    else -y> :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|F>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,if
      y\<geqslant\>0 then y else -y,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|T<around*|(|\<Sigma\>,y\<geqslant\>0,\<box\>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,y,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>T<around*|(|\<Sigma\>,y\<geqslant\>0,\<box\>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,-y,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|y|)>\<geqslant\>0\<wedge\>s<around*|(|x|)>=s<around*|(|y|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\><around*|(|s<around*|(|y|)>\<geqslant\>0|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=-s<around*|(|y|)>|)>>>>>
    </eqnarray*>
  </example>

  <\example>
    Effectuons la traduction de <math|x=0\<rightarrow\>pre<rsub|1> x + 1>.

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|F>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,0\<rightarrow\>pre<rsub|1>x
      + 1,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,0,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,pre<rsub|1>x
      + 1,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|pre<rsub|1>x,1|)>,s<around*|(|x|)>=\<box\><rsub|1>+\<box\><rsub|2>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,1,<around*|\<nobracket\>|s<around*|(|x|)>=l<around*|(|m<rsub|1>|)>+\<box\>|)>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=l<around*|(|m<rsub|1>|)>+1|)>>>>>
    </eqnarray*>

    Remarque : dans une �tape � part, il faut penser � m�moriser une valeur
    pour <math|m<rsub|1>>, c'est-�-dire � introduire l'�quation
    <math|s<around*|(|m<rsub|1>|)>=s<around*|(|x|)>>.
  </example>

  <subsubsection|Traduction de scopes et de programmes>

  On d�finit une traduction compl�te pour les programmes, en pensant �
  introduire les �quations de persistance de la m�moire pour les pre. On
  introduit aussi des �quations qui d�terminent si un scope est actif ou
  inactif, si il est init ou pas, si il doit �tre reset ou pas, en fonction
  des divers param�tres du programme (�tats d'automates, conditions de blocs
  activate). De mani�re g�n�rale, un scope a deux traductions qui sont
  produites : une pour le cas o� ce scope est actif, et une pour le cas o� il
  est inactif (dans le cas inactif, il s'agit simplement de perp�tuer les
  m�moires). Ainsi la traduction d'un bloc \S <math|activate if c then
  b<rsub|1> else b<rsub|2>> \T sera du style
  <math|<around*|(|c\<wedge\>T<rsub|active><around*|(|b<rsub|1>|)>\<wedge\>T<rsub|inactive><around*|(|b<rsub|2>|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>c\<wedge\>T<rsub|active><around*|(|b<rsub|2>|)>\<wedge\>T<rsub|inactive><around*|(|b<rsub|1>|)>|)>>.

  Tout ceci est long � �crire, aussi nous nous contenterons de donner un
  exemples.

  <\example>
    Traduction du programme :

    <\verbatim-code>
      node test() returns(x: int)

      var lx: int;

      let

      \ \ lx = 0 -\<gtr\> pre x;

      \ \ x = if lx \<gtr\>= 5 then 0 else lx + 1;

      tel
    </verbatim-code>

    On obtient la formule :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|<around*|(|<stack|<tformat|<cwith|1|-1|2|2|cell-halign|l>|<table|<row|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|\<vee\>>|<cell|\<neg\>l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>\<wedge\><around*|(|<stack|<tformat|<cwith|1|-1|2|2|cell-halign|l>|<table|<row|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|/>|)>\<wedge\>\<neg\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|\<vee\>>|<cell|\<neg\>l<around*|(|act<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>=l<around*|(|init<rsub|/>|)>>>>>>|)>>>>>>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|\<neg\>s<around*|(|nreset<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|lx|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|lx|)>=l<around*|(|m<rsub|1>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|<around*|(|s<around*|(|lx|)>\<geqslant\>5\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|s<around*|(|lx|)>\<less\>5\<wedge\>s<around*|(|x|)>=s<around*|(|lx|)>+1|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|s<around*|(|m<rsub|1>|)>=s<around*|(|x|)>>>>>
    </eqnarray*>
  </example>

  Pour d'autres traductions, voir les sorties produites par
  <verbatim|scade-analyzer>.

  <section|Interpr�te pour s�mantique concr�te>

  Une premi�re fa�on de faire un interpr�te pour la s�mantique concr�te
  serait de faire un interpr�te de formules logiques, et d'appliquer la
  formule obtenue par traduction r�p�titivement jusqu'� obtenir un point
  fixe.

  Ce n'est cependant pas cette solution que nous avons choisi de mettre en
  place, notre solution est plus proche de la s�mantique par r�duction.

  Nous avons choisi de repr�senter un �tat <math|s> du programme en cours de
  calcul comme une valeur mutables, o� les variables sont calcul�es au fur et
  � mesure qu'on les demande. La structure <math|s> peut donc contenir � un
  instant donn� pour une certaine variable soit une valeur, soit une fonction
  � appeler pour que cette valeur soit calcul�e et rajout�e � <math|s>.

  La proc�dure de calcul consiste � activer le scope racine, puis � appeler
  les fonctions de calcul sur les variables de sortie jusqu'� ce qu'on
  obtienne des valeurs. On enregistre ensuite la portion d'�tat qui nous
  int�resse pour le cycle suivant.

  L'activation d'un scope se fait selon la proc�dure suivante :

  <\itemize>
    <item>Pour une d�finition de variable <math|x=e>, rajouter dans <math|s>
    pour la variable <math|x> la fonction qui calcule <math|e> et rajoute la
    valeur trouv�e dans <math|s>.

    <item>Pour un bloc activate, rajouter dans <math|s> pour toutes les
    variables renvoy�es par le bloc, la fonction qui choisit la branche �
    activer en calculant les conditions et active le scope correspondant.

    <item>Pour un automate, rajouter dans <math|s> pour toutes les variables
    renvoy�es par l'automate, la fonction qui choisit l'�tat � activer en se
    basant sur l'�tat enregistr� au cycle pr�c�dent, et active le scope
    correspondant.
  </itemize>

  Le calcul de la valeur prise par une expression <math|e>, utilis�e dans une
  condition ou pour une d�finition de variable, peut faire appel � d'autres
  variables du programme. � ce moment si une valeur a �t� m�moris�e on
  l'utilise, sinon on appelle la fonction de calcul pour cette variable.
  Lorsque le calcul d'une variable est \S en cours \T, ce statut est
  enregistr� dans <math|s>, ce qui permet de d�tecter les cycles de
  d�pendances.

  L'�tape d'enregistrement des variables d'int�r�t pour le cycle suivant
  comporte notamment une phase de calcul des transitions faibles emprunt�es
  par les automates du programme, pour qu'� l'�tape suivante le calcul puisse
  reprendre directement. Les restart sont aussi trait�s � ce moment l�, avec
  une fonction pour reset un scope qui remet toutes les variables init � true
  et tous les �tats � l'�tat initial, r�cursivement.

  <section|Interpr�tation abstraite>

  Le but de l'interpr�tation abstraite est de prouver certaines propri�t�s
  sur un programme. Pour cela, nous passons par une premi�re approximation,
  la s�mantique collectrice, que nous approximons une seconde fois en la
  passant dans un domaine de repr�sentation abstraite.

  <subsection|S�mantique collectrice>

  <subsubsection|Nouvelle notation : fonction de transition>

  Notons <math|\<bbb-X\>> l'ensemble des variables. On note
  <math|\<bbb-X\><rsub|e>> l'ensemble des variables de type �num�ration et
  <math|\<bbb-X\><rsub|n>> les variables de type num�rique, de sorte que
  <math|\<bbb-X\>=\<bbb-X\><rsub|e>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|n>>.

  Un �tat du syst�me est une fonction <math|\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>,
  o� <math|\<bbb-V\>> repr�sente l'ensemble des valeurs (num�riques ou
  �num�ration). On note <math|\<bbb-M\>=\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>
  l'ensemble des �tats du syst�me.

  Avant le premier cycle, le syst�me peut �tre dans n'importe quel �tat de
  <math|I> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|I>|<cell|=>|<cell|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\>
    \| s<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=tt|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Entre deux cycles, les variables qui comptent r�ellement dans <math|s> sont
  les variables actif et reset pour les scopes, les variables d'�tat pour les
  automates, et les m�moires des <em|pre>.

  Vision habituelle : on a une suite d'�tats
  <math|s<rsub|0>,s<rsub|1>,\<ldots\>> qui repr�sentent la m�moire entre deux
  cycles. <math|s<rsub|0>> est d�fini. On a une relation de transition qui
  prend <math|s<rsub|n>> et les entr�es <math|i<rsub|n+1>> et qui calcule les
  sorties <math|o<rsub|n+1>> et l'�tat suivant <math|s<rsub|n+1>> :

  <\equation*>
    s<rsub|0><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|1>>o<rsub|1>,s<rsub|1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|2>>o<rsub|2>,s<rsub|2><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|3>>o<rsub|3>,s<rsub|3>\<rightarrow\>*\<cdots\>*
  </equation*>

  Nous introduisons ici une seconde notation pour ce fonctionnement.

  Les variables de l'�tat pr�c�dent <math|s<rsub|n-1>>, au lieu d'�tre
  consid�r�es comme un lieu � part, sont partiellement copi�es dans l'�tat
  <math|s<rsub|n>> par une fonction que l'on appellera fonction de cycle.
  Cette fonction copie uniquement les variables dont les valeurs pr�c�dentes
  sont utiles pour le calcul de la transition, et pr�fixe leur noms d'un
  pr�fixe standard, \S <math|L> \T, qui indique que ce sont des variables de
  type <em|last>, c'est-�-dire des copies de valeurs du cycle pr�c�dent.

  On note cette fonction de cycle <math|c :
  \<bbb-M\>\<rightarrow\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>> ; nous �crivons
  cette fonction comme non-d�terministe car apr�s cette fonction un certain
  nombre de variables sont oubli�es et on consid�re que leurs valeurs n'ont
  pas d'importance. Elle peut �tre d�finie � partir d'un ensembles de
  variables <math|C>, qui sont les variables qui nous int�resseront lors du
  calcul de la transition :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|c<around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|s<rprime|'>\<in\>\<bbb-M\>
    \| \<forall\>x\<in\>C,s<rprime|'><around*|(|L
    x|)>=s<around*|(|x|)>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  D�roulement d'un cycle : on prend l'�tat <math|s> apr�s passage par la
  fonction de cycle, on y met les valeurs des entr�es du syst�me. On applique
  ensuite la fonction <math|f : \<bbb-M\>\<rightarrow\>\<bbb-M\>> qui calcule
  toutes les variables du syst�me (elle peut �tre d�finie comme la saturation
  de la s�mantique par r�duction, comme le point fixe de l'application
  r�p�t�e d'une formule, ou plus classiquement comme l'application d'une
  s�rie d'instructions en style imp�ratif, r�sultat de la compilation du
  programme). On peut � ce moment r�cup�rer les valeurs de sorties.

  Avec nos notations : <math|o<rsub|n+1>> est la restriction de
  <math|f<around*|(|c<around*|(|s<rsub|n>|)>+i<rsub|n+1>|)>> aux variables de
  sortie, o� <math|c<around*|(|s<rsub|n>|)>+i<rsub|n+1>> correspond � d�finir
  les variables de <math|c<around*|(|s<rsub|n>|)>> et de <math|i<rsub|n+1>>.

  <\remark>
    En principe, quel que soit <math|x\<in\>c<around*|(|s<rsub|n>|)>>,
    <math|f<around*|(|x+i<rsub|n+1>|)>> ne peut �tre qu'un seul
    environnement, car le programme est d�terministe. C'est pourquoi on se
    permet l'abus de notation <math|f<around*|(|c<around*|(|s<rsub|n>|)>+i<rsub|n+1>|)>>.
  </remark>

  <subsubsection|Suppression des entr�es, s�mantique collectrice>

  On s'int�resse maintenant � l'ex�cution d'un programme SCADE quelles que
  soient ses entr�es <math|i<rsub|n>>. On peut faire des hypoth�ses sur ces
  entr�es en utilisant la directive <verbatim|assume> du langage. On suppose
  que l'on dispose d'une fonction <math|q :
  \<bbb-M\>\<rightarrow\><around*|{|tt,ff|}>> qui nous dit si un
  environnement est conforme � la sp�cification donn�e par les directives
  <verbatim|assume>.

  On s'int�resse maintenant � la s�mantique non d�terministe suivante :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\>
    \| s<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=tt|}>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1><rsub|>>|<cell|=>|<cell|g<around*|(|s<rsub|n>|)>>>|<row|<cell|g<around*|(|x|)>>|<cell|=>|<cell|<big|cup><rsub|s\<in\>x><around*|{|f<around*|(|a|)>,a\<in\>c<around*|(|s|)>,q<around*|(|f<around*|(|a|)>|)>=tt|}>>>>>
  </eqnarray*>

  \;

  La valeur <math|s<rsub|n>> contient tous les environnements possibles pour
  le syst�me � la <math|n>-�me �tape, quelles que soient les entr�es jusque
  l�.

  On d�finit maintenant la s�mantique collectrice du programme comme �tant la
  valeur :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|S>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|s<rsub|0>>
    <around*|(|\<lambda\>s.s<rsub|0>\<cup\>g<around*|(|s|)>|)>>>|<row|<cell|S>|<cell|\<in\>>|<cell|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  <math|S> repr�sente ici exactement l'ensemble de tous les �tats accessibles
  par le syst�me, � tout moment, quelles que soient les valeurs en entr�e.

  Toute la suite de notre travail consistera � construire une approximation
  la meilleure possible de <math|S>.

  <subsection|G�n�ralit�s sur l'interpr�tation abstraite>

  Une abstraction est d�finie par une correspondance de Galois entre
  <math|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>> et <math|\<cal-D\><rsup|#>>,
  repr�sentation abstraite d'une partie de <math|\<bbb-M\>>. L'abstraction
  peut �tre caract�ris�e par sa fonction de concr�tisation :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<gamma\>>|<cell|:>|<cell|\<cal-D\><rsup|#>\<rightarrow\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  \ On peut aussi g�n�ralement s'appuyer sur l<math|>'existence d'une
  fonction d'abstraction :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<alpha\>>|<cell|:>|<cell|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#>>>>>
  </eqnarray*>

  Cette fonction fait correspondre � une partie de <math|\<bbb-M\>> sa
  meilleure approximation dans le domaine abstrait, lorsque celle-ci existe
  (par exemple dans le cas des poly�dres, l'abstraction d'un ensemble fini de
  points est leur enveloppe convexe, mais un cercle n'a pas de meilleure
  abstraction). En pratique la fonction d'abstraction n'est pas tr�s
  utilis�e.

  Dans tous les cas, on s'attend � ce que
  <math|\<forall\>x\<in\>\<cal-D\><rsup|#>,x\<sqsubseteq\>\<alpha\><around*|(|\<gamma\><around*|(|x|)>|)>>
  d'une part et <math|\<forall\>y\<in\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>,y\<subseteq\>\<gamma\><around*|(|\<alpha\><around*|(|y|)>|)>>
  d'autre part.

  De base ici, nous avons deux choix simples pour <math|\<cal-D\><rsup|#>> :
  les intervalles et les poly�dres convexes. Ceux-ci sont consid�r�s acquis
  pour la suite ; on les note <math|\<cal-D\><rsub|int><rsup|#>> et
  <math|\<cal-D\><rsub|poly><rsup|#>>, avec les fonctions de concr�tisation
  <math|\<gamma\><rsub|int>> et <math|\<gamma\><rsub|poly>> associ�es.

  On note <math|\<bbb-E\>> l'ensemble des �quations (�galit�s et in�galit�s)
  sur des variables de <math|\<bbb-X\>>. Par exemple les �l�ments suivants
  sont des �quations de <math|\<bbb-E\>> :
  <math|x=0,c=tt,y\<geqslant\>5*x-2>.

  Pour <math|s\<in\>\<bbb-M\>> et <math|e\<in\>\<bbb-E\>>, on note
  <math|s\<vDash\>e> si l'expression <math|e> est vraie dans l'�tat <math|s>.

  Pour un domaine abstrait <math|\<cal-D\><rsup|#>> et pour une expression
  <math|e\<in\>\<bbb-E\>>, on suppose que l'on a une fonction s�mantique
  <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>> :
  \<cal-D\><rsup|#>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#>> qui restreint
  l'abstraction <math|s<rsup|#>> en une sur-approximation (la meilleure
  possible) de <math|\<alpha\><around*|(|<around*|{|s\<in\>\<gamma\><around*|(|s<rsup|#>|)>
  \| s\<vDash\>e|}>|)>> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<around*|{|s\<in\>\<gamma\><around*|(|s<rsup|#>|)>
    \| s\<vDash\>e|}>>|<cell|\<sqsubseteq\>>|<cell|\<gamma\><around*|(|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s<rsup|#>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  La fonction de transition <math|f> est repr�sent�e dans l'abstrait par une
  fonction <math|f<rsup|#>> qui correspond � l'application d'un certain
  nombre de contraintes de <math|\<bbb-E\>>, ainsi que de disjonction de cas.
  On remarque que l'aspect imp�ratif dispara�t compl�tement, on n'a plus
  qu'un ensemble d'�quations et de disjonctions. La traduction du programme
  SCADE en formule logique donne directement une formule de ce style que l'on
  peut appliquer sur un environnement abstrait.

  La fonction de cycle <math|c> correspond � conserver un certain nombre de
  variables en tant que \S m�moires \T, en pr�fixant leur noms d'un \S L \T
  pour <em|last>. Notons <math|C> l'ensemble des variables � conserver. Cette
  fonction peut �tre repr�sent�e dans l'abstrait par l'op�rateur
  <math|c<rsup|#>> dont une d�finition est :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|c<rsup|#><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<alpha\><around*|(|<around*|{|\<rho\>\<in\>\<bbb-M\>
    \| \<forall\>x\<in\>C,\<exists\>\<rho\><rprime|'>\<in\>\<gamma\><around*|(|s|)>\|\<rho\><around*|(|L
    x|)>=\<rho\><rprime|'><around*|(|x|)>|}>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  (cette d�finition n'est pas constructive car on n'impl�mente jamais
  <math|\<gamma\>> directement)

  Cela correspond � oublier un certain nombre de variables qui ne nous
  int�ressent plus, et � renommer celles que l'on garde.

  <\example>
    Soit le programme suivant :

    <\verbatim>
      node counter() returns(x: int)

      \ \ x = 0 -\<gtr\> (if pre x = 5 then 0 else pre x + 1)
    </verbatim>

    Celui-ci est traduit par une formule du style :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|init<rsub|/>\<equiv\>Lnreset<rsub|/>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|nreset<rsub|/>\<equiv\>ff>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|<around*|(|init<rsub|/>\<equiv\>tt\<wedge\>x=0|)>>>|<row|<cell|\<vee\>>|<cell|<around*|(|init<rsub|/>\<equiv\>ff\<wedge\><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|<around*|(|Lx=5\<wedge\>x=0|)>>>|<row|<cell|\<vee\>>|<cell|<around*|(|Lx\<neq\>5\<wedge\>x=Lx+1|)>>>>>>|)>|)>>>>>>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    Les deux variables qui ont besoin d'�tre perp�tu�es d'un cycle au suivant
    sont <math|nreset<rsub|/>> et <math|x>, la fonction de cycle
    <math|c<rsup|#>> est donc d�finie � partir de
    <math|C=<around*|{|nreset<rsub|/>,x|}>>.

    La fonction <math|f<rsup|#>>, quant � elle, refl�te directement la
    structure de la formule :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|f<rsup|#><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|init<rsub|/>\<equiv\>Lnreset<rsub|/>|\<rrbracket\>>\<circ\><around*|\<llbracket\>|nreset<rsub|/>\<equiv\>ff|\<rrbracket\>><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|<around*|\<llbracket\>|init<rsub|/>\<equiv\>tt|\<rrbracket\>>\<circ\><around*|\<llbracket\>|x=0|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>>|<row|<cell|\<sqcup\>>|<cell|<around*|\<llbracket\>|init<rsub|/>\<equiv\>ff|\<rrbracket\>><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|<around*|\<llbracket\>|Lx=5|\<rrbracket\>>\<circ\><around*|\<llbracket\>|x=0|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>>|<row|<cell|\<sqcup\>>|<cell|<around*|\<llbracket\>|Lx\<neq\>5|\<rrbracket\>>\<circ\><around*|\<llbracket\>|x=Lx+1|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>>>>>|)>>>>>>|)>>>>>
    </eqnarray*>
  </example>

  Par facilit�, on note <math|g<rsup|#>=c<rsup|#>\<circ\>f<rsup|#>>. �tant
  donn� qu'un programme est essentiellement une grosse boucle, la valeur qui
  nous int�resse est l'abstraction de <math|S> donn�e par :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|S<rsup|#>>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|I<rsup|#>><around*|(|\<lambda\>i.I<rsup|#>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|i|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  O� <math|I<rsup|#>> est l'�tat initial du syst�me et est d�fini par
  <math|I<rsup|#>=<around*|\<llbracket\>|i|\<rrbracket\>><around*|(|\<top\>|)>>,
  o� <math|i> est une �quation du type <math|Lnreset<rsub|/>=tt>.

  Nous en venons donc � chercher des domaines abstraits les mieux � m�me de
  repr�senter les diff�rentes contraintes exprimables dans <math|\<bbb-E\>>.
  Dans notre cas, celles-ci se divisent essentiellement en deux cat�gories :

  <\itemize>
    <item>Contraintes num�riques : les variables sont dans
    <math|\<bbb-X\><rsub|n>>, les constantes dans <math|\<bbb-N\>> (ou
    <math|\<bbb-Q\>>), les op�rateurs sont <math|+,-,\<times\>,\<div\>,
    mod,=,\<geqslant\>,\<neq\>>. On note <math|\<bbb-E\><rsub|n>> l'ensemble
    de telles contraintes.

    <item>Contraintes �num�r�es : les variables sont dans
    <math|\<bbb-X\><rsub|e>>, les constantes dans un ensemble fini qui d�pend
    du types des variables, les op�rateurs sont <math|\<equiv\>,\<nequiv\>>.
    On note <math|\<bbb-E\><rsub|e>> l'ensemble de telles contraintes.
  </itemize>

  Les domaines num�riques <math|\<cal-D\><rsub|int><rsup|#>> et
  <math|\<cal-D\><rsub|poly><rsup|#>> ne sont pas � m�me de repr�senter
  correctement les contraintes de <math|\<bbb-E\><rsub|e>>. G�n�ralement, on
  d�finit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>\<nocomma\>,<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|int>>|<cell|=>|<cell|id<rsub|\<cal-D\><rsub|int><rsup|#>>>>|<row|<cell|\<forall\>e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>,<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|poly>>|<cell|=>|<cell|id<rsub|\<cal-D\><rsub|poly><rsup|#>>>>>>
  </eqnarray*>

  Les variables bool�ennes peuvent �tre repr�sent�es par <math|0> et
  <math|1>, par exemple on peut introduire les transformations suivantes (en
  notant <math|\<bbb-X\><rsub|b>> l'ensemble des variables � valeurs
  bool�ennes) :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x=tt|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=1|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x=ff|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=0|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>|<row|<cell|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x=y|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=y|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>|<row|<cell|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x\<neq\>y|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=1-y|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>>>
  </eqnarray*>

  Les r�sultats sont g�n�ralement plus que m�diocres. De plus, on ne peut pas
  repr�senter ainsi de fa�on exacte les valeurs d'�num�rations ayant plus de
  deux �l�ments (puisqu'on se restreint � une enveloppe convexe).

  <section|Domaines abstraits et disjonction de cas>

  Pour l'analyse de programmes SCADE, l'analyse de l'ensemble de la boucle de
  contr�le comme une seule valeur dans un environnement abstrait num�rique
  est insuffisante. Il nous a donc �t� crucial de d�velopper des domaines
  abstraits capables de faire des disjonctions de cas afin de traiter de
  mani�re plus fine l'�volution du programme.

  Nous souhaitons pouvoir faire des disjonctions de cas selon les valeurs des
  variables de <math|\<bbb-X\><rsub|e>>. Par exemple si on a un automate
  <math|A> dont la variable d'�tat s'appelle <math|q> et �volue dans
  l'ensemble <math|Q=<around*|{|up,down,left,right,stay|}>>, on voudrait
  pouvoir isoler cette variable des autres, ne plus l'inclure dans le domaine
  abstrait et l'utiliser pour diff�rencier plusieurs valeurs abstraites. Il
  nous faut donc red�finir le domaine abstrait <math|\<cal-D\>> et surtout la
  fonction d'application d'une condition <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>>>
  avec <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>>.

  <subsection|Domaine � disjonction simple>

  Supposons que l'on ait maintenant trois ensembles de variables :

  <\itemize>
    <item><math|\<bbb-X\><rsub|n>> : variables num�riques

    <item><math|\<bbb-X\><rsub|e>> : variables �num�r�es non consid�r�es
    comme variables de disjonction

    <item><math|\<bbb-X\><rsub|d>> : variables de disjonction, prenant leurs
    valeurs dans <math|\<bbb-V\><rsub|d>> un ensemble fini (pour �tre pr�cis,
    il faudrait noter <math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>>,
    <math|\<bbb-V\><rsub|d><around*|(|x|)>> l'ensemble des valeurs possibles
    pour la valeur <math|x>, qui peut �tre diff�rent selon la variable - on
    est amen� � faire un peu de typage, il faut en particulier s'assurer que
    les contraintes que l'on donne sont entre deux variables pouvant prendre
    les m�mes valeurs).
  </itemize>

  On consid�re dans cette section que l'on a un domaine abstrait
  <math|\<cal-D\><rsup|#><rsub|0>> capable de g�rer les contraintes sur les
  variables num�riques et sur les variables �num�r�es, mais sans relation
  entre les deux. Le domaine <math|\<cal-D\><rsup|#><rsub|0>> repr�sente une
  abstraction de <math|\<bbb-M\><rsub|0>=<around*|(|\<bbb-X\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|e>|)>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>.
  On note <math|\<bot\><rsub|0>> et <math|\<top\><rsub|0>> les �l�ments
  bottom et top de ce treillis, <math|\<sqcup\><rsub|0>> et
  <math|\<sqcap\><rsub|0>> les bornes inf et sup de ce treillis, ainsi que
  <math|\<nabla\><rsub|0>> son op�rateur de widening. On note
  <math|<around*|\<llbracket\>|\<cdummy\>|\<rrbracket\>><rsub|0>> la fonction
  de restriction par une contrainte.

  La particularit� des variables de disjonction est que l'on ne r�alise pas
  d'abstraction sur celles-ci : on repr�sente directement un �tat par une
  valuation de ces variables, dans <math|\<bbb-X\><rsub|d>\<rightarrow\>\<bbb-V\><rsub|d>=\<bbb-M\><rsub|d>>.

  On appelle toujours <math|\<bbb-M\>=\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>, o�
  <math|\<bbb-X\>=\<bbb-X\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|e>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|d>>.
  On a une injection �vidente de <math|\<bbb-M\><rsub|d>> dans
  <math|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>>, on identifie donc
  <math|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>> � <math|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\>\|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>,s<around*|(|x|)>=d<around*|(|x|)>|}>>.
  De m�me on identifie <math|e\<in\>\<bbb-M\><rsub|0>> �
  <math|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\> \| \<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|e>,s<around*|(|x|)>=e<around*|(|x|)>|}>>.

  On construit maintenant le domaine abstrait disjonctif comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<cal-D\><rsup|#>>|<cell|=>|<cell|\<bbb-M\><rsub|d>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#><rsub|0>>>|<row|<cell|\<gamma\><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|<big|cup><rsub|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>>d\<cap\>\<gamma\><around*|(|s<around*|(|d|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Les �l�ments <math|\<top\>> et <math|\<bot\>> sont d�finis comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<bot\>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.\<bot\><rsub|0>>>|<row|<cell|\<top\><rsub|>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.\<top\><rsub|0>>>>>
  </eqnarray*>

  On v�rifie bien que <math|\<gamma\><around*|(|\<bot\>|)>=\<varnothing\>> et
  <math|\<gamma\><around*|(|\<top\>|)>=\<bbb-M\>>.

  On peut aussi d�finir les op�rations <math|\<sqcup\>> et <math|\<sqcap\>> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s\<sqcup\>t>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<around*|(|s<around*|(|d|)>\<sqcup\><rsub|0>t<around*|(|d|)>|)>>>|<row|<cell|s\<sqcap\>t>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<around*|(|s<around*|(|d|)>\<sqcap\><rsub|0>t<around*|(|d|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Enfin, la partie int�ressante : on peut d�finir un certain nombres
  d'op�rateurs de restriction :

  <\itemize>
    <item><math|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>,\<forall\>s\<in\>\<cal-D\><rsup|#>>,

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=y|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>=d<around*|(|y|)>>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|0>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x\<neq\>y|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>\<neq\>d<around*|(|y|)>>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|0>>|<cell|sinon>>>>>>>>>
    </eqnarray*>

    <item><math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>,\<forall\>v\<in\>\<bbb-V\><rsub|d>>,

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=v|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>=v>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|0>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x\<neq\>v|\<rrbracket\>><rsub|><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>\<neq\>v>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|0>>|<cell|sinon>>>>>>>>>
    </eqnarray*>
  </itemize>

  <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>>> est donc d�fini correctement
  pour tout <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|d>>, o� <math|\<bbb-E\><rsub|d>> est
  l'ensemble des conditions sur variables de disjonction de
  <math|\<bbb-V\><rsub|d>>. Pour toute expression
  <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|n>> ou <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>>, le
  domaine <math|\<cal-D\><rsup|#><rsub|0>> est sens� savoir les prendre en
  compte de mani�re satisfaisante, on d�finit donc :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>e\<in\>\<bbb-E\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-E\><rsub|e>,<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|0><around*|(|s<around*|(|d|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  L'op�rateur de widening reste probl�matique. On peut d�finir un op�rateur
  de widening point par point :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s \<nabla\>
    t>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.s<around*|(|d|)> \<nabla\><rsub|0>
    t<around*|(|d|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Mais celui-ci est peu satisfaisant car chaque �tat
  <math|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>> repr�sente potentiellement un �tat d'un
  syst�me de transitions, pouvant d�boucher sur lui-m�me ou sur un autre
  �tat, et il faut savoir prendre en compte ces disjonctions � un niveau plus
  fin. Il faut donc plut�t voir le tout comme un syst�me de transitions.

  �tant donn� notre syst�me repr�sent� par une fonction de transition
  <math|f<rsup|#>> et une fonction de cycle <math|c<rsup|#>> (par facilit�,
  on notera <math|g<rsup|#>=c<rsup|#>\<circ\>f<rsup|#>>), l'ensemble des
  �tats accessible par le syst�me est <math|S<rsup|#>=lfp<rsub|S<rsub|0><rsup|#>><around*|(|\<lambda\>s.S<rsub|0><rsup|#>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|s|)>|)>>,
  o� <math|S<rsub|0><rsup|#>=<around*|\<llbracket\>|i|\<rrbracket\>><around*|(|\<top\>|)>>.

  Pour <math|d<rsub|0>\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>>, notons
  <math|r<rsub|d<rsub|0>> : \<cal-D\><rsup|#>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#>>
  tel que <math|r<rsub|d<rsub|0>><around*|(|s|)>=\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|\<bot\><rsub|0>>|<cell|si
  d\<neq\>d<rsub|0>>>|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si d=d<rsub|0>>>>>>>

  Le principe des it�rations chaotiques peut s'�crire comme suit :

  <\itemize>
    <item>Poser :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|S<rsub|0><rsup|#>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
      s<rsub|0><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|0>|}>>>>>
    </eqnarray*>

    <item>Tant que <math|\<delta\><rsub|n>\<neq\>\<varnothing\>>, on r�p�te
    le processus suivant :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|n+1>>|<cell|\<in\>>|<cell|\<delta\><rsub|n>
      <text| (choisi arbitrairement)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|g<rsup|#><around*|(|r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>|)>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|s<rsub|n>\<sqcup\>D<rsub|n+1>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<delta\><rsub|n>\\<around*|{|a<rsub|n+1>|}>|)>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n><around*|(|d|)>|}>>>>>
    </eqnarray*>
  </itemize>

  Intuitivement : <math|\<bbb-M\><rsub|d>> repr�sente l'ensemble des �tats
  possibles pour notre syst�me de transition. � chaque it�ration, on choisit
  un �tat qui a grossi depuis la derni�re fois. On calcule ses successeurs et
  on met � jour l'ensemble des �tats que l'on conna�t.

  Probl�me : ici on ne fait pas de widening, et on peut �tre � peu pr�s s�r
  que l'analyse ne terminera pas (sauf cas simples). Pour cela, on introduit
  un ensemble <math|K<rsub|\<nabla\>>\<subset\>\<bbb-M\><rsub|d>> qui
  repr�sente l'ensemble des �tats que l'on devra faire grossir par widening
  et non par union simple dans le futur. La d�finition devient alors :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|S<rsub|0><rsup|#>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|0><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|0>|}>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,0>>|<cell|=>|<cell|\<varnothing\>>>>>
  </eqnarray*>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|n+1>>|<cell|\<in\>>|<cell|\<delta\><rsub|n>
    <text| (choisi arbitrairement)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|g<rsup|#><around*|(|r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>|)>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>
    \<nabla\><rsub|0> D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|si
    d\<in\>K<rsub|\<nabla\>,n>>>|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>
    \<sqcup\><rsub|0> D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n+1>>|<cell|=>|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|n><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|0>\<wedge\>s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n>|}>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<delta\><rsub|n>\\<around*|{|a<rsub|n+1>|}>|)>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n><around*|(|d|)>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Ie : si un �tat est apparu � une �tape, et si � une �tape ult�rieure il
  grossit, alors lors de toutes les �tapes suivantes on le fera grossir non
  pas par union simple mais par �largissement.

  Reste une question : comment prendre en compte les conditions de boucle qui
  permettent de r�duire le domaine abstrait ? La d�finition pr�c�dente n'est
  peut-�tre pas la bonne, car elle risque d'appliquer des �largissements que
  l'on ne sait plus ensuite comment r�tr�cir pour refaire appara�tre les
  bonnes conditions. Nous proposons comme forme final le processus
  d'it�ration suivant :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|S<rsub|0><rsup|#>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|0><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|0>|}>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,0>>|<cell|=>|<cell|\<varnothing\>>>>>
  </eqnarray*>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|n+1>>|<cell|\<in\>>|<cell|\<delta\><rsub|n>
    <text| (choisi arbitrairement)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>|)>><around*|(|\<lambda\>i.r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|i|)>|)>|)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|D<rsub|n+1><rsup|0>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>
    \<nabla\><rsub|0> D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|si
    d\<in\>K<rsub|\<nabla\>,n> et d\<neq\>a<rsub|n+1>>>|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>
    \<sqcup\><rsub|0> D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n+1>>|<cell|=>|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|n><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|0>\<wedge\>s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n>|}>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<delta\><rsub|n>\\<around*|{|a<rsub|n+1>|}>|)>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n><around*|(|d|)>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  O� le point fixe <math|D<rsub|n+1><rsup|0>> est calcul� avec appel au
  widening au besoin, et en faisant une ou des it�rations d�croissantes � la
  fin. Intuitivement : on fait grossir un �tat au maximum, en cherchant son
  point fixe en boucle sur lui-m�me. Ensuite seulement on s'occupe de savoir
  ce qu'il peut propager aux autres �tats.

  <subsection|Domaine � graphe de d�cision>

  Nous proposons dans ce paragraphe un second domaine abstrait capable de
  faire des disjonctions de cas, et qui permet de mieux tra�ter des probl�mes
  ayant un nombre important de variables de type �num�r� reli�es entre elles
  par des relations complexes.

  D�finition du domaines abstraits avec graphes de d�cision : on va �crire
  ici une d�finition math�matique des op�rateurs que l'on a impl�ment�. On
  fait abstraction des probl�matiques de m�moisation et de partage des
  sous-graphes, qui font tout l'int�r�t de la technique d'un point de vue
  pratique mais qui peuvent �tre consid�r�s comme un traitement � part (ce
  n'est rien de plus que de la m�moisation et du partage).

  <subsubsection|Variables et contraintes>

  Il y a deux domaines de variables, <math|\<bbb-X\><rsub|e>> pour les
  �num�r�s et <math|\<bbb-X\><rsub|n>> pour les variables num�riques. Il y a
  deux domaines pour les contraintes, <math|\<bbb-E\><rsub|e>> les
  contraintes sur les �num�r�s (de la forme <math|x\<equiv\>y> ou
  <math|x\<equiv\>v,v\<in\>\<bbb-V\><rsub|e>>) et <math|\<bbb-E\><rsub|n>>
  les contraintes sur les variables num�riques (�galit�s ou in�galit�s).

  <subsubsection|Domaine num�rique>

  On note <math|D<rsub|n>> le domaine des valeurs num�riques et
  <math|\<sqcup\><rsub|n>>, <math|\<sqcap\><rsub|n>>,
  <math|<around*|\<llbracket\>|\<cdummy\>|\<rrbracket\>><rsub|n>>,
  <math|\<bot\><rsub|n>>, <math|\<top\><rsub|n>>,
  <math|\<sqsubseteq\><rsub|n>>, <math|\<matheuler\><rsub|n>>,
  <math|\<nabla\><rsub|n>> les �l�ments correspondants dans ce domaine. On
  consid�re que <math|\<gamma\><rsub|n> :
  D<rsub|n>\<rightarrow\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>> (avec
  <math|\<bbb-M\>=\<bbb-X\><rsub|e>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|n>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>)
  donne toutes les valuations possibles pour les variables de
  <math|\<bbb-X\><rsub|e>>.

  <subsubsection|Les EDD>

  On d�finit un ordre sur les variables de <math|\<bbb-X\><rsub|e>> :
  <math|\<bbb-X\><rsub|e>=<around*|{|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|}>>
  (bien choisi pour r�duire la taille du graphe).

  On d�finit ensuite une valeur du domaine disjonctif, ie un EDD, par un type
  somme comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s>|<cell|\<assign\>>|<cell|V<around*|(|t\<in\>D<rsub|num>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\|>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Si on voit �a comme un arbre, alors il faut que si un noeud
  <math|C<around*|(|x<rsub|i>,\<ldots\>|)>> est anc�tre d'un noeud
  <math|C<around*|(|x<rsub|j>,\<ldots\>|)>>, alors <math|i\<less\>j> (par
  rapport � l'ordre donn� sur <math|\<bbb-X\><rsub|e>>).\ 

  Pour faciliter les notations, on introduit le rang d'un noeud :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<delta\><around*|(|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|i>>|<row|<cell|\<delta\><around*|(|V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|\<infty\>>>>>
  </eqnarray*>

  La contrainte se traduit par, pour tout noeud
  <math|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>,
  on a <math|\<forall\>j,i\<less\>\<delta\><around*|(|s<rsub|j>|)>>.

  On d�finit aussi la contrainte suivante : on n'a pas le droit d'avoir de
  noeud <math|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>
  si <math|s<rsub|1>=s<rsub|2>=*\<cdots\>*=s<rsub|p>>. Cela implique
  l'unicit� de l'arbre qui repr�sente un environnement donn�.

  La concr�tisation est d�finie comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<gamma\><around*|(|V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|\<gamma\><rsub|n><around*|(|t|)>>>|<row|<cell|\<gamma\><around*|(|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<big|cup><rsub|j=1><rsup|p><around*|{|s\<in\>\<gamma\><around*|(|s<rsub|j>|)>
    \| s<around*|(|x<rsub|i>|)>=v<rsub|j>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Les �l�ments <math|\<top\>> et <math|\<bot\>> sont d�finis comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<top\>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|\<top\><rsub|n>|)>>>|<row|<cell|\<bot\>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|\<bot\><rsub|n>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Pour assurer l'unicit� lors des transformations, on d�finit la fonction de
  r�duction <math|r> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|r<around*|(|<around*|\<nobracket\>|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|\<nobracket\>>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|1>>|<cell|si
    s<rsub|1>=s<rsub|2>=*\<cdots\>*s<rsub|p>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>|<cell|sinon>>>>>>>>>
  </eqnarray*>

  L'op�ration <math|\<sqcap\>> est d�finie comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t|)>\<sqcap\>V<around*|(|t<rprime|'>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|t\<sqcap\><rsub|n>t<rprime|'>|)>>>|<row|<cell|<stack|<tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>>|<row|<cell|\<sqcap\>>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1><rprime|'>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p><rprime|'>|)>>>>>>>|<cell|=>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>\<sqcap\>s<rsub|1><rprime|'>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>\<sqcap\>s<rsub|p><rprime|'>|)>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>\<sqcap\>s<rprime|'>>|<cell|<above|=|<text|lorsque
    <math|i\<less\>\<delta\><around*|(|s<rprime|'>|)>>>>>|<cell|<stack|<tformat|<table|<row|<cell|r<around*|(|<around*|\<nobracket\>|x<rsub|i>,<stack|<tformat|<table|<row|<cell|v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>\<sqcap\>s<rprime|'>>>|<row|<cell|*\<vdots\>>>|<row|<cell|v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>\<sqcap\>s<rprime|'>>>>>>|)>|\<nobracket\>>>>>>>>>>>
  </eqnarray*>

  et sym�triquement lorsque <math|\<delta\><around*|(|s|)>\<gtr\>\<delta\><around*|(|s<rprime|'>|)>>
  (le noeud le plus haut est celui correspondant � la variable d'indice le
  plus faible, pour respecter l'ordre).

  L'op�ration <math|\<sqcup\>> est d�finie pareil.

  Si <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|n>>, on d�finit
  <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>>> par :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|n><around*|(|t|)>|)>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\><around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\><around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Pour les conditions sur les �num�r�s, on d�finit d'abord :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|c<around*|(|x\<equiv\>v|)>>|<cell|=>|<cell|C<around*|(|x,v\<rightarrow\>\<top\>,v<rprime|'>\<rightarrow\>\<bot\>,v<rprime|'>\<in\>\<bbb-V\><rsub|e>\\<around*|{|v|}>|)>>>|<row|<cell|c<around*|(|x\<nequiv\>v|)>>|<cell|=>|<cell|C<around*|(|x,v\<rightarrow\>\<bot\>,v<rprime|'>\<rightarrow\>\<top\>,v<rprime|'>\<in\>\<bbb-V\><rsub|e>\\<around*|{|v|}>|)>>>|<row|<cell|c<around*|(|x<rsub|i>\<equiv\>x<rsub|j>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    i\<less\>j>>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<equiv\>v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<equiv\>v<rsub|p>|)>|)>>>|<row|<cell|c<around*|(|x<rsub|i>\<nequiv\>x<rsub|j>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    i\<less\>j>>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<nequiv\>v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<nequiv\>v<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  et sym�triquement lorsque <math|j\<gtr\>i>.

  On peut ensuite poser, pour <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|c<around*|(|e|)>\<sqcap\>s>>>>
  </eqnarray*>

  L'�galit� entre les valeurs repr�sent�es par deux EDD correspond �
  l'�galit� de ces deux EDD (c'est une CNS).

  L'inclusion est �galement d�finie par induction :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t|)>\<sqsubseteq\>V<around*|(|t<rprime|'>|)>>|<cell|\<equiv\>>|<cell|t\<sqsubseteq\><rsub|n>t<rprime|'>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>\<sqsubseteq\>C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1><rprime|'>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p><rprime|'>|)>>|<cell|\<equiv\>>|<cell|<big|wedge><rsub|i=1><rsup|p>s<rsub|i>\<sqsubseteq\>s<rsub|i><rprime|'>>>|<row|<cell|s\<sqsubseteq\>C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>|<cell|<above|\<equiv\>|lorsque
    \<delta\><around*|(|s|)>\<gtr\>i>>|<cell|<big|wedge><rsub|i=1><rsup|p>s\<sqsubseteq\>s<rsub|i>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>\<sqsubseteq\>s<rprime|'>>|<cell|<above|\<equiv\>|lorsque
    i\<less\>\<delta\><around*|(|s<rprime|'>|)>>>|<cell|<big|wedge><rsub|i=1><rsup|p>s<rsub|i>\<sqsubseteq\>s<rprime|'>>>>>
  </eqnarray*>

  <subsubsection|Op�rateur de widening>

  Sur nos EDD, on d�finit une op�ration <math|\<rho\>:D<rsub|n>\<times\>D\<rightarrow\>D>
  comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|\<top\>>|<cell|si
    t=t<rsub|0>>>|<row|<cell|\<bot\>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,s<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,s<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Explication : cette fonction extrait d'un EDD la fonction bool�enne qui
  m�ne vers exactement une certaine valeur abstraite des num�riques.

  On introduit maintenant un op�rateur de widening sur nos arbres :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a\<nabla\>b>|<cell|=>|<cell|f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,a,b|)>>>|<row|<cell|f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,V<around*|(|t|)>,V<around*|(|t<rprime|'>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t
    \<nabla\><rsub|n> t<rprime|'>|)>>|<cell|si
    \<rho\><around*|(|t,a|)>=\<rho\><around*|(|t<rprime|'>,b|)>>>|<row|<cell|V<around*|(|t\<sqcup\><rsub|n>t<rprime|'>|)>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,s,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    i\<less\>\<delta\><around*|(|s|)>>>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,<stack|<tformat|<table|<row|<cell|v<rsub|1>\<rightarrow\>f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|1>|)>>>|<row|<cell|*\<vdots\>>>|<row|<cell|v<rsub|p>\<rightarrow\>f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|p>|)>>>>>>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Les autres cas sont d�finis exactement pareil (cf d�finition de
  <math|\<sqcup\>>, plus on passe <math|a> et <math|b> � notre fonction
  <math|f<rsub|\<nabla\>>>). Explication : lorsque l'on doit faire l'union de
  deux feuilles, on fait un widening si et seulement si les deux feuilles
  sont accessibles selon exactement la m�me formule bool�enne sur les
  �num�r�s dans <math|a> et <math|b>.

  <subsubsection|<paragraph|It�rations chaotiques.>>

  On enrichit un peu notre arbre au niveau des feuilles pour enregistrer
  quelques informations suppl�mentaires :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s>|<cell|\<assign\>>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i>>>|<row|<cell|>|<cell|\|>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>>>|<row|<cell|>|<cell|\|>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  L'�toile correspondra � : \S cette feuille est nouvelle, il faut l'analyse
  comme nouveau cas \T, et l'indice <math|i\<in\>\<bbb-N\>> correspond � : \S
  cette feuille est l� depuis <math|k> it�rations \T, o� le <math|k> permet
  d'impl�menter un d�lai de widening.

  On se donne <math|\<tau\>> un d�lai de widening, param�tre de l'analyse. On
  d�finit maintenant une fonction d'accumulation <math|\<diamond\>> comme
  suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a \<diamond\>
    b>|<cell|=>|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,a,b|)>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,\<bot\><rsub|>,V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    t\<neq\>\<bot\><rsub|n>>>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|0>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<nu\>>,\<bot\>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<nu\>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<nu\>>,V<around*|(|t<rprime|'>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t
    \<nabla\><rsub|n> t<rprime|'>|)><rsub|i+1><rsup|\<nu\>>>|<cell|si
    \<rho\><around*|(|t,a|)>=\<rho\><around*|(|t<rprime|'>,b|)><text| et >
    i\<geqslant\><rsub|>\<tau\>>>|<row|<cell|V<around*|(|t\<sqcup\><rsub|n>t<rprime|'>|)><rsub|i+1><rsup|\<nu\>>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,s,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    \<delta\><around*|(|s|)>\<gtr\>i>>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,<stack|<tformat|<table|<row|<cell|v<rsub|1>\<rightarrow\>f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|1>|)>>>|<row|<cell|*\<vdots\>>>|<row|<cell|v<rsub|p>\<rightarrow\>f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|p>|)>>>>>>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  (o� <math|\<nu\>> correspond � soit une �toile soit pas d'�toile)

  (les autres cas se font par appel r�cursif encore une fois comme dans le
  cas de l'union)

  Puis une fonction de d�tection des cas nouveaux par rapport � une valeur
  pr�c�dente :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<oast\><rsub|s<rsub|0>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,s|)>>>|<row|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,V<around*|(|t|)><rsub|i>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>>|<cell|si
    <around*|(|\<rho\><around*|(|t,s|)>\<sqcap\>s|)>\<nsqsubseteq\>s<rsub|0>>>|<row|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,s<rsub|1>|)><rsub|>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,s<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Nous sommes maintenant en mesure de d�crire le processus d'it�rations
  chaotiques � proprement parler. On commence avec :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|\<oast\><rsub|\<bot\>>
    S<rsub|0><rsup|#>>>>>
  </eqnarray*>

  (appliquer <math|\<oast\>> de la sorte permet de faire que toutes les
  feuilles soient �toil�es)

  Puis pour les<math|> it�rations, deux cas :

  <\itemize>
    <item>Si il existe <math|V<around*|(|t<rsub|0>|)><rsup|\<ast\>><rsub|i>>
    une feuille �toil�e dans <math|s<rsub|n>> : on marque
    <math|s<rsub|n><rprime|'>> l'arbre <math|s<rsub|n>> o� toutes les
    feuilles <math|V<around*|(|t<rsub|0>|)>> sont d�-�toil�es, puis :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|c<rsub|n>>|<cell|=>|<cell|\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,s<rsub|n>|)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|c<rsub|n>\<sqcap\>s<rsub|n>><around*|(|\<lambda\>i.c<rsub|n>\<sqcap\><around*|(|s<rsub|n>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|i|)>|)>|)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|D<rsub|n+1><rsup|0>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<oast\><rsub|s<rsub|n><rprime|'>><around*|(|s<rsub|n><rprime|'>
      \<diamond\> D<rsub|n+1>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    (o� le point fixe <math|D<rsub|n+1><rsup|0>> est fait en faisant appel �
    <math|\<sqcup\>> et <math|\<nabla\>> d�finis pr�c�demment, avec un d�lai
    de widening convenable)

    Dans tous les cas, on refait une it�ration. Les �toiles finiront bien par
    dispara�tre.

    <item>Si il n'existe pas de telle feuille �toil�e dans <math|s<rsub|n>> :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<oast\><rsub|s<rsub|n>><around*|(|s<rsub|n>
      \<diamond\> g<rsup|#><around*|(|s<rsub|n>|)>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    Dans ce cas, on s'arr�te si <math|s<rsub|n+1>=s<rsub|n>>.
  </itemize>

  <subsection|Partitionnement dynamique>

  Une autre approche � base de partitionnement dynamique a �t� tent�e (cette
  approche est d�crite dans <cite|jhrsas99>)<math|>, mais elle n'a pas donn�
  de tr�s bons r�sultats par manque d'une heuristique sur les
  partitionnements � effectuer.

  L'id�e de base consiste � se donner une liste de conditions
  <math|d<rsub|1>,d<rsub|2>,\<ldots\>,d<rsub|n>> qui d�finissent <math|n>
  parties de <math|S<rsup|#>> (en principe disjointes, mais les
  approximations m�nent parfois � des recoupenents). On �tudie les parties
  (ou <em|lieux>) <math|S<rsub|i><rsup|#>=<around*|\<llbracket\>|d<rsub|i>|\<rrbracket\>><around*|(|S<rsup|#>|)>>
  comme un syst�me de transitions pour lequel on calcule un point fixe par
  it�rations chaotiques.

  Les conditions <math|d<rsub|i>> sont donn�es par une heuristique qui
  d�coupe � chaque rafinement un des lieux <math|S<rsub|i><rsup|#>> en
  plusieurs sous-lieux.

  <paragraph|D�coupage de base.>Le d�coupage de base est g�n�ralement : init
  ; non init et propri�t� v�rifi�e ; non init et propri�t� non v�rifi�e.

  <paragraph|Rafinement.>On note <math|S<rsub|i><rsup|#>\<rightarrow\>S<rsup|#><rsub|j>>
  si dans notre sur-approximation on peut �tre � un cycle dans
  <math|S<rsub|i><rsup|#>> et dans le suivant dans <math|S<rsub|j><rsup|#>>.

  On recherche un lieu <math|S<rsub|i><rsup|#>> et une condition <math|c>
  apparaissant dans le programme (ou la n�gation d'une telle condition) tel
  qu'il existe un �tat <math|S<rsub|j><rsup|#>> ayant les propri�t�s
  suivantes :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|S<rsub|j><rsup|#>>|<cell|\<rightarrow\>>|<cell|S<rsub|i><rsup|#>>>|<row|<cell|S<rsub|j><rsup|#>>|<cell|\<nrightarrow\>>|<cell|<around*|\<llbracket\>|c|\<rrbracket\>>S<rsub|i><rsup|#>>>>>
  </eqnarray*>

  On peut aussi le faire dans l'autre sens :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|S<rsub|i><rsup|#>>|<cell|\<rightarrow\>>|<cell|S<rsub|j><rsup|#>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|c|\<rrbracket\>>S<rsub|i><rsup|#>>|<cell|\<nrightarrow\>>|<cell|S<rsub|j><rsup|#>>>>>
  </eqnarray*>

  Si une telle condition est d�tect�e, alors on peut diviser le lieu
  <math|S<rsub|i><rsup|#>> en deux parties,
  <math|<around*|\<llbracket\>|c|\<rrbracket\>>S<rsub|i><rsup|#>> et
  <math|<around*|\<llbracket\>|\<neg\>c|\<rrbracket\>>S<rsub|i><rsup|#>>,
  c'est-�-dire qu'on pose comme nouvelles d�finitions
  <math|d<rsub|1>,\<ldots\>,d<rsub|i-1>,c\<wedge\>d<rsub|i>,\<neg\>c\<wedge\>d<rsub|i>,d<rsub|i+1>,\<ldots\>,d<rsub|n>>.
  On refait ensuite un point fixe. Notre analyse est en principe plus fine,
  donc on esp�re trouver des lieux inacessibles.

  <subparagraph|Observations.>En pratique �a ne marche pas tr�s bien car les
  rafinements ne sont pas effectu�s dans le bon ordre. Dans le papier
  sus-cit�, une double analyse en avant et en arri�re �tait utilis�e pour
  trouver l'intersection des valeurs accessibles depuis l'�tat initial et
  co-accessibles jusqu'� un �tat qui provoque une erreur (ie dont la
  d�finition est : la propri�t� est viol�e), mais nous n'avons pas tent�
  d'impl�menter une telle analyse, qui serait sans doute bien plus pr�cise.
  Remarquons que l'impl�mentation de <name|B.Jeannet> pour LUSTRE est
  disponnible sur sa page web (c'est l'outil NBac).

  <section|Impl�mentation>

  Le projet scade-analyzer propose une impl�mentation simple des composants
  suivants :

  <\itemize>
    <item>lexer, parser, typeur symple pour notre sous-ensemble de SCADE
    (source des fichiers dans <verbatim|frontend/>)

    <item>interpr�te pour la s�mantique concr�te
    (<verbatim|interpret/interpret.ml>)

    <item>impl�mentation de la transformation d'un programme en formule
    logique ; quelques simplifications sur les formules logiques
    (<verbatim|abstract/formula.ml>, <verbatim|abstract/transform.ml>).

    <item>trois domaines num�riques bas�s sur Apron : intervalles, poly�dres
    et octogones (<verbatim|abstract/apron_domain.ml>)

    <item>vestige d'une impl�mentation \S maison \T d'un domaine
    non-relationnel � base d'intervalles (<verbatim|abstract/num_domain.ml>,
    <verbatim|abstract/nonrelational.ml>,
    <verbatim|abstract/value_domain.ml>, <verbatim|abstract/intervals_domain.ml>)

    <item>deux domaines abstraits � disjonctions et proc�dures d'analyse
    statique correspondantes (<verbatim|abstract/abs_interp.ml>,
    <verbatim|abstract/abs_interp_edd.ml>)

    <item>proc�dure d'analyse par partitionnement dynamique
    (<verbatim|abstract/abs_interp_dynpart.ml>)
  </itemize>

  En nous basant sur les options de la ligne de commande, nous allons
  maintenant d�crire les diff�rentes fonctionnalit�s.

  <subsection|Parsing et affichage de programmes SCADE>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--dump> : parse un fichier SCADE et le r�-affiche en
    sortie

    <item><verbatim|--dump-rn> : parse un fichier SCADE et le r�-affiche en
    sortie, apr�s une �tape de renommage qui consiste � rendre les noms
    unique au sein d'un noeud. Cette passe est impl�ment�e dans
    <verbatim|frontend/rename.ml>.
  </itemize>

  <subsection|Interpr�te SCADE>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--test> : execute le programme SCADE donn� en argument,
    avec l'interpr�te <verbatim|interpret/interpret.ml> bas� sur la
    s�mantique � r�duction. Le programme doit satisfaire la sp�cification
    suivante : avoir un noeud <verbatim|test> qui servira de racine, ce noeud
    devant prendre une unique entr�e, <verbatim|i>, qui est un compteur
    incr�ment� � chaque cycle, et renvoyant trois entiers, <verbatim|a>,
    <verbatim|b> et <verbatim|c> (qui seront affich�s en sortie), ainsi qu'un
    booleen <verbatim|exit> qui indiquera que l'interpr�te doit terminer. Cf
    fichiers dans <verbatim|tests/source/*.scade> pour des exemples.

    <item><verbatim|--vtest> : pareil mais affiche plus de d�tails (tout le
    contenu de la m�moire est affich� � chaque cycle).
  </itemize>

  <subsection|Analyse statique par interpr�tation abstraite>

  <subsubsection|Domaine � disjonctions simples>

  Cette analyse est impl�ment�e dans <verbatim|abstract/abs_interp.ml>.

  <paragraph|Modes d'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--ai-itv> : fait une passe d'analyse statique par
    interpr�tation abstraite utilisant le domaine � disjonctions simples, et
    en s'appuyant sur le domaine non-relationnel � base d'intervalles pour la
    partie num�rique

    <item><verbatim|--ai-poly> : de m�me mais utilise le domaine abstrait
    relationnel bas� sur les poly�dres d'Apron pour la partie num�rique

    <item><verbatim|--ai-oct> : de m�me mais utilise les octogones
  </itemize>

  <paragraph|Options de l'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--root \<less\>noeud\<gtr\>> : sp�cifie le noeud racine
    dont on veut faire l'analyse (par d�faut : <verbatim|test>)

    <item><verbatim|--ai-vci> : affiche des d�tails sur le contenu de
    l'accumulateur � chaque it�ration

    <item><verbatim|--ai-vvci> : affiche encore plus de d�tails

    <item><verbatim|--ai-wd \<less\>n\<gtr\>> : d�finit un d�lai pour les
    op�rations de widening (par d�faut 5). Ce d�lai est utilis� � deux
    endroits diff�rents de l'analyse : pour le point fixe local de chaque
    it�ration chaotique, et pour le point fixe global des it�rations.

    <item><verbatim|--disj \<less\>vars\<gtr\>> : variables � utiliser comme
    variables de disjonction (par d�faut : aucune). Donner comme argument
    <verbatim|all> permet d'utiliser toutes les variables �num�r�es pour les
    disjonctions. Donner comme argument <strong|<verbatim|last>> permet
    d'utilsier toutes les variables �num�r�es qui sont utilis�es dans une
    m�moire. On peut aussi utiliser la syntaxe <verbatim|last+v1,v2,v3> pour
    rajouter des variables aux variables m�moire.

    <item><verbatim|--no-time \<less\>scopes\<gtr\>> : donne un certain
    nombre de scopes pour lesquels ne pas introduire de variable
    <verbatim|time> (par d�faut <verbatim|all>, c'est-�-dire que
    <verbatim|time> n'est jamais introduite). Lorsqu'une variable
    <verbatim|time> est introduite, on g�n�re les �quations qui font en sorte
    que <verbatim|time> soit �gal au num�ro du cycle depuis le d�but de
    l'ex�cution du programme.

    <item><verbatim|--init \<less\>scopes\<gtr\>> : donne un certain nombre
    de scopes pour lesquels introduire une variable <verbatim|init> (par
    d�faut <verbatim|all>). Il est envisageable de remplacer la variable
    <verbatim|init> de chaque scope par une variable <verbatim|time>, les
    disjonctions de cas init/non init se feront alors selon la condition
    <math|time=0> ou <math|time\<geqslant\>1>. En ne g�n�rant ni variable
    <verbatim|time> ni variable <verbatim|init>, la disjonction n'est pas
    faite.
  </itemize>

  <subsubsection|Domaine � disjonction par graphe de d�cision>

  Cette analyse est impl�ment�e dans <verbatim|abstract/abs_interp_edd.ml>.

  <paragraph|Modes d'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--ai-itv-edd> : fait une passe d'analyse statique
    utilisant le domaine � base d'EDD et en utilisant les intervalles comme
    domaine de valeurs num�riques

    <item><verbatim|--ai-poly-edd> : de m�me mais utilise le domaine abstrait
    relationnel bas� sur les poly�dres d'Apron pour la partie num�rique

    <item><verbatim|--ai-oct-edd> : de m�me mais utilise les octogones
  </itemize>

  <paragraph|Options de l'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--root>

    <item><verbatim|--ai-vci>, <verbatim|--ai-vvci>

    <item><verbatim|--ai-wd>

    <item><verbatim|--no-time>, <verbatim|--init>

    <item>Non impl�ment� : param�tre <verbatim|--disj> pouvant intervenir sur
    le choix des variables � consid�rer dans le graphe de d�cision
    (actuellement toutes sont n�cessairement consid�r�es).
  </itemize>

  <subsubsection|Analyse par partitionnement dynamique>

  Cette analyse est impl�ment�e dans <verbatim|abstract/abs_interp_dynpart.ml>.

  <paragraph|Modes d'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--ai-s-itv-dp> : analyse par partitionnement dynamique,
    utilise un domaine simple non-relationnel pour les valeurs �num�r�es et
    les intervalles pour la partie num�rique

    <item><verbatim|--ai-edd-itv-dp> : analyse par partitionnement dynamique,
    utilise des graphes de d�cision pour repr�senter les conditions sur les
    �num�r�es et les intervalles pour la partie num�rique

    <item><verbatim|--ai-s-rel-dp> : utilise les poly�dres d'Apron

    <item><verbatim|--ai-edd-rel-dp>
  </itemize>

  <paragraph|Param�tres de l'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--root>

    <item><verbatim|--ai-wd>

    <item><verbatim|--ai-vci>, <verbatim|--ai-vvci>

    <item><verbatim|--no-time>, <verbatim|--init>

    <item><verbatim|--ai-max-dp-depth> : profondeur maximale de
    partitionnement

    <item><verbatim|--ai-max-dp-width> : largeur maximale de partitionnement
    (ie nombre maximal de parties � consid�rer)
  </itemize>

  <section|Prolongements envisageables>

  <subsection|Analyse des propri�t�s des nombres flottants>

  <\itemize>
    <item>Utiliser un op�rateur de widening apropri� (cf Astr�e)

    <item>Impl�menter la s�mantique des nombres flottants machine (ce qui
    n'est pas simple)
  </itemize>

  <subsection|Analyse de programmes \S taille r�elle \T>

  <\itemize>
    <item>Modification du domaine EDD pour pouvoir ne prendre en compte
    qu'une partie des variables �num�r�es (pour l'instant elles sont toutes
    consid�r�es, ce n'est pas param�trable). Permettre que les feuilles
    contiennent �galement des informations non-relationnelles sur les
    variables de type �num�r�.

    <item>Analyse de base avec des intervalles, plus des \S packs \T de
    variables trait�s avec des domaines plus puissants (octagones,
    polyh�dres, domaines � disjonctions)

    <item>Analyse par contrats : abstraire certains noeuds par les garanties
    que v�rifient les sorties, plut�t que de consid�rer le noeud en entr�e.
    En �change, il faut que l'on v�rifie que les propri�t�s en entr�e
    (assume) sont bien vraies.

    <item>L'ordre des �quations dans le programme semble avoir un impact sur
    l'analyse : si celles-ci sont �crites dans l'ordre o� elles seront
    effectivement ex�cut�es (ie tri�es par ordre de d�pendance), l'analyse
    semble gagner en pr�cision. Impl�menter une passe de scheduling
    (approximatif : on ne veut pas diviser les automates, les blocs activate,
    ...) que l'on ex�cuterait comme pr�-processing sur le programme.
  </itemize>

  <\bibliography|bib|tm-plain|research.bib>
    <\bib-list|5>
      <bibitem*|1><label|bib-blanchetEtAl-PLDI03>B.<nbsp>Blanchet,
      P.<nbsp>Cousot, R.<nbsp>Cousot, J.<nbsp>Feret, L.<nbsp>Mauborgne,
      A.<nbsp>Min�, D.<nbsp>Monniaux<localize| and >X.<nbsp>Rival.<newblock>
      A static analyzer for large safety-critical software.<newblock>
      <localize|In ><with|font-shape|italic|Proceedings of the ACM SIGPLAN
      2003 Conference on Programming Language Design and Implementation
      (PLDI'03)>, <localize|pages >196--207. San Diego, California, USA, June
      7--14 2003. ACM Press.<newblock>

      <bibitem*|2><label|bib-cousotCousot79-1>P.<nbsp>Cousot<localize| and
      >R.<nbsp>Cousot.<newblock> Systematic design of program analysis
      frameworks.<newblock> <localize|In ><with|font-shape|italic|Conference
      Record of the Sixth Annual ACM SIGPLAN-SIGACT Symposium on Principles
      of Programming Languages>, <localize|pages >269--282. San Antonio,
      Texas, 1979. ACM Press, New York, NY.<newblock>

      <bibitem*|3><label|bib-halbwachs94c>N.<nbsp>Halbwachs.<newblock> About
      synchronous programming and abstract interpretation.<newblock>
      <localize|In >B.<nbsp>LeCharlier<localize|, editor>,
      <with|font-shape|italic|International Symposium on Static Analysis,
      SAS'94>. Namur (belgium), September 1994. LNCS 864, Springer
      Verlag.<newblock>

      <bibitem*|4><label|bib-lesartse>N.<nbsp>Halbwachs,
      F.<nbsp>Lagnier<localize| and >C.<nbsp>Ratel.<newblock> Programming and
      verifying real-time systems by means of the synchronous data-flow
      programming language lustre.<newblock> <with|font-shape|italic|IEEE
      Transactions on Software Engineering, Special Issue on the
      Specification and Analysis of Real-Time Systems>, , September
      \ 1992.<newblock>

      <bibitem*|5><label|bib-jhrsas99>B.<nbsp>Jeannet,
      N.<nbsp>Halbwachs<localize| and >P.<nbsp>Raymond.<newblock> Dynamic
      partitioning in analyses of numerical properties.<newblock>
      <localize|In ><with|font-shape|italic|Static Analysis Symposium,
      SAS'99>. Venezia (Italy), sep 1999.<newblock>
    </bib-list>
  </bibliography>

  \;
</body>

<\initial>
  <\collection>
    <associate|language|french>
  </collection>
</initial>

<\references>
  <\collection>
    <associate|auto-1|<tuple|1|1>>
    <associate|auto-10|<tuple|2.3.5|4>>
    <associate|auto-11|<tuple|2.3.6|4>>
    <associate|auto-12|<tuple|2.3.7|4>>
    <associate|auto-13|<tuple|2.4|6>>
    <associate|auto-14|<tuple|2.4.1|6>>
    <associate|auto-15|<tuple|2.4.2|7>>
    <associate|auto-16|<tuple|3|7>>
    <associate|auto-17|<tuple|4|8>>
    <associate|auto-18|<tuple|4.1|8>>
    <associate|auto-19|<tuple|4.1.1|8>>
    <associate|auto-2|<tuple|2|1>>
    <associate|auto-20|<tuple|4.1.2|9>>
    <associate|auto-21|<tuple|4.2|9>>
    <associate|auto-22|<tuple|5|11>>
    <associate|auto-23|<tuple|5.1|11>>
    <associate|auto-24|<tuple|5.2|13>>
    <associate|auto-25|<tuple|5.2.1|14>>
    <associate|auto-26|<tuple|5.2.2|14>>
    <associate|auto-27|<tuple|5.2.3|14>>
    <associate|auto-28|<tuple|5.2.4|15>>
    <associate|auto-29|<tuple|5.2.5|16>>
    <associate|auto-3|<tuple|2.1|1>>
    <associate|auto-30|<tuple|5.2.3.3|?>>
    <associate|auto-31|<tuple|5.2.5.2|16>>
    <associate|auto-32|<tuple|5.3|17>>
    <associate|auto-33|<tuple|5.3.0.3|17>>
    <associate|auto-34|<tuple|5.3.0.4|17>>
    <associate|auto-35|<tuple|5.3.0.4.1|17>>
    <associate|auto-36|<tuple|6|17>>
    <associate|auto-37|<tuple|6.1|18>>
    <associate|auto-38|<tuple|6.2|18>>
    <associate|auto-39|<tuple|6.3|18>>
    <associate|auto-4|<tuple|2.2|2>>
    <associate|auto-40|<tuple|6.3.1|18>>
    <associate|auto-41|<tuple|6.3.1.1|18>>
    <associate|auto-42|<tuple|6.3.1.2|18>>
    <associate|auto-43|<tuple|6.3.2|19>>
    <associate|auto-44|<tuple|6.3.2.1|19>>
    <associate|auto-45|<tuple|6.3.2.2|19>>
    <associate|auto-46|<tuple|6.3.3|19>>
    <associate|auto-47|<tuple|6.3.3.1|19>>
    <associate|auto-48|<tuple|6.3.3.2|19>>
    <associate|auto-49|<tuple|7|19>>
    <associate|auto-5|<tuple|2.3|3>>
    <associate|auto-50|<tuple|7.1|19>>
    <associate|auto-51|<tuple|7.2|20>>
    <associate|auto-52|<tuple|<with|mode|<quote|math>|\<bullet\>>|20>>
    <associate|auto-53|<tuple|3|20>>
    <associate|auto-6|<tuple|2.3.1|3>>
    <associate|auto-7|<tuple|2.3.2|3>>
    <associate|auto-8|<tuple|2.3.3|3>>
    <associate|auto-9|<tuple|2.3.4|4>>
    <associate|bib-blanchetEtAl-PLDI03|<tuple|1|?>>
    <associate|bib-cousotCousot79-1|<tuple|2|?>>
    <associate|bib-halbwachs94c|<tuple|3|?>>
    <associate|bib-jhrsas99|<tuple|5|?>>
    <associate|bib-lesartse|<tuple|4|?>>
  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|bib>
      blanchetEtAl-PLDI03

      cousotCousot79-1

      halbwachs94c

      lesartse

      jhrsas99

      jhrsas99
    </associate>
    <\associate|toc>
      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|1<space|2spc>Introduction>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|2<space|2spc>Sp�cification>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-2><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.1<space|2spc>Grammaire
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-3>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.2<space|2spc>S�mantique concr�te
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-4>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.3<space|2spc>S�mantique par r�duction
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-5>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.1<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      l'activation du scope racine <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-6>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.2<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      l'init dans tous les scopes <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-7>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.3<space|2spc>R�gles de r�duction
      d'expressions <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-8>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.4<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les pre <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-9>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.5<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les d�finitions de variables <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-10>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.6<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les blocs activate <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-11>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.7<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les automates <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-12>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.4<space|2spc>S�mantique par traduction,
      r�gles de traduction <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-13>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.4.1<space|2spc>Traduction des expressions
      num�riques et bool�ennes <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-14>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.4.2<space|2spc>Traduction de scopes et de
      programmes <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-15>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|3<space|2spc>Interpr�te
      pour s�mantique concr�te> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-16><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|4<space|2spc>Interpr�tation
      abstraite> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-17><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|4.1<space|2spc>S�mantique collectrice
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-18>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|4.1.1<space|2spc>Nouvelle notation :
      fonction de transition <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-19>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|4.1.2<space|2spc>Suppression des entr�es,
      s�mantique collectrice <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-20>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|4.2<space|2spc>G�n�ralit�s sur
      l'interpr�tation abstraite <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-21>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|5<space|2spc>Domaines
      abstraits et disjonction de cas> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-22><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|5.1<space|2spc>Domaine � disjonction
      simple <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-23>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|5.2<space|2spc>Domaine � graphe de
      d�cision <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-24>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|5.2.1<space|2spc>Variables et contraintes
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-25>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|5.2.2<space|2spc>Domaine num�rique
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-26>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|5.2.3<space|2spc>Les EDD
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-27>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|5.2.4<space|2spc>Op�rateur de widening
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-28>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|5.2.5<space|2spc><assign|paragraph-numbered|<quote|false>><assign|paragraph-prefix|<quote|<macro|<compound|the-paragraph>.>>><assign|paragraph-nr|<quote|1>><hidden|<tuple>><assign|subparagraph-nr|<quote|0>><flag|table
      des mati�res|dark green|what><assign|auto-nr|<quote|30>><label|auto-30><write|toc|<with|par-left|<quote|6fn>|It�rations
      chaotiques. <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-30><vspace|0.15fn>>><no-indent><with|math-font-series|<quote|bold>|font-series|<quote|bold>|<vspace*|0.5fn>It�rations
      chaotiques.<space|2spc>> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-30>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|It�rations chaotiques.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-31><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|5.3<space|2spc>Partitionnement dynamique
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-32>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|D�coupage de base.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-33><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Rafinement.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-34><vspace|0.15fn>>

      Observations. <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-35><vspace|0.15fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|6<space|2spc>Impl�mentation>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-36><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|6.1<space|2spc>Parsing et affichage de
      programmes SCADE <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-37>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|6.2<space|2spc>Interpr�te SCADE
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-38>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|6.3<space|2spc>Analyse statique par
      interpr�tation abstraite <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-39>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|6.3.1<space|2spc>Domaine � disjonctions
      simples <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-40>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Modes d'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-41><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Options de l'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-42><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|6.3.2<space|2spc>Domaine � disjonction par
      graphe de d�cision <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-43>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Modes d'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-44><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Options de l'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-45><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|6.3.3<space|2spc>Analyse par partitionnement
      dynamique <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-46>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Modes d'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-47><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Param�tres de l'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-48><vspace|0.15fn>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|7<space|2spc>Prolongements
      envisageables> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-49><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|7.1<space|2spc>Analyse des propri�t�s des
      nombres flottants <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-50>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|7.2<space|2spc>Analyse de programmes \S
      taille r�elle \T <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-51>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Bibliographie>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-52><vspace|0.5fn>
    </associate>
  </collection>
</auxiliary>