path: root/readme.tm

<TeXmacs|1.0.7.18>

<style|article>

<\body>
  <doc-data|<doc-title|scade-analyzer>|<doc-subtitle|note de r�f�rence>>

  <section|Introduction>

  Le projet consiste en la r�alisation d'un analyseur statique pour des
  programmes SCADE, utilisant l'interpr�tation abstraite comme base de
  travail. Les objectifs attendus sont :

  <\itemize>
    <item>Preuve de propri�t�s de s�ret� sur des programmes

    <item>�tude d'intervalles de variation pour des variables
  </itemize>

  L'exp�rience a �t� men�e sur un sous-ensemble tr�s restreint du langage
  SCADE, comportant notamment :

  <\itemize>
    <item>noyau dataflow (op�rations arithm�tiques �l�mentaires, op�rateurs
    <verbatim|-\<gtr\>> et <verbatim|pre>), pas de prise en charge des
    horloges explicites (primitves <verbatim|when>, <verbatim|merge>, ...)

    <item>blocs <verbatim|activate>

    <item>automates simples, � transitions faibles seulement, sans actions
    sur les transitions (les transitions de type <verbatim|restart> sont
    prises en compte)
  </itemize>

  Dans ce document nous metterons au clair les points suivants :

  <\enumerate>
    <item>Sp�cification du sous-ensemble de SCADE consid�r�

    <item>Explication du fonctionnement de l'interpr�te pour la s�mantique
    concr�te

    <item>Explication de la traduction d'un programme SCADE en une formule
    logique repr�sentant le cycle du programme

    <item>Explications sur l'interpr�tation abstraite en g�n�ral, sur les
    domaines num�riques, sur la recherche de points fixe

    <item>Explications sur notre adaptation de ces principes � l'analyse du
    langage SCADE, en particulier :

    <\itemize>
      <item>it�rations chaotiques

      <item>domaines capables de faire des disjonctions de cas (graphes de
      d�cision)
    </itemize>
  </enumerate>

  <section|Sp�cification>

  <subsection|Grammaire>

  <\verbatim-code>
    <\verbatim>
      decl \ \ \ := CONST id: type = expr;

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| NODE (var_def;*) RETURNS (var_def;*) VAR var_def;*
      body

      var_def := (PROBE? id),* : type

      body \ \ \ := LET eqn;* TEL

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| eqn;

      type \ \ \ := INT \| BOOL \| REAL \| (TYPE,+)

      eqn \ \ \ \ := id = expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| GUARANTEE id : expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| ASSUME id : expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| AUTOMATON state* RETURNS id,*

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| ACTIVATE scope_if RETURNS id,*

      scope_if := (VAR var_def;*)? body

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| IF expr THEN scope_if ELSE scope_if

      state \ \ \ := INITIAL? STATE id

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ body

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ until*

      until \ \ \ := UNTIL IF expr (RESUME\|RESTART) id

      expr \ \ \ \ := int_const \| real_const \| TRUE \| FALSE \| id

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| unary_op expr \| expr bin_op expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| IF expr THEN expr ELSE expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| id ( expr,* )

      unary_op := - \| PRE \| NOT

      bin_op \ \ := + \| - \| * \| / \| -\<gtr\> \| AND \| OR \| MOD
    </verbatim>

    \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| = \| \<less\>\<gtr\> \| \<less\> \| \<gtr\> \|
    \<less\>= \| \<gtr\>=
  </verbatim-code>

  <subsection|S�mantique concr�te>

  Pour simplifier, on consid�re dans cette section que tous les noeuds ont
  �t� inlin�s.

  On note <math|\<bbb-X\>> l'ensemble des variables d�finies dans le texte du
  programme, et on note <math|\<bbb-V\>> l'ensemble des valeurs qui peuvent
  �tre prises.

  Un environnement de valeurs est une fonction
  <math|s:\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>> qui d�crit un �tat de la m�moire
  du programme. On d�finit aussi un sous-ensemble
  <math|\<bbb-V\><rsub|i>\<subset\>\<bbb-V\>> de variables dont les valeurs
  sont des entr�es du syst�me.

  L'ex�cution d'un programme est une s�quence d'�tats m�moire
  <math|s<rsub|0>\<nocomma\>,s<rsub|1>,\<ldots\>,s<rsub|n>,\<ldots\>>
  conforme � la sp�cification du programme et � une s�rie d'entr�es. On note
  :

  <\equation*>
    s<rsub|0><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|1>>s<rsub|1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|2>>s<rsub|2>\<rightarrow\>\<cdots\>
  </equation*>

  Dans la s�mantique par traduction, la s�mantique d'un programme est d�finie
  par traduction du programme <math|P> en une formule logique <math|F> telle
  que :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n-1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|n>>s<rsub|n>>|<cell|\<Leftrightarrow\>>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-V\><rsub|i>,s<rsub|n><around*|(|x|)>=i<rsub|n><around*|(|x|)>>>|<row|<cell|F<around*|(|s<rsub|n-1>,s<rsub|n>|)>>>>>>>>>>
  </eqnarray*>

  Dans la s�mantique par r�duction, la s�mantique d'un programme est d�finie
  par un ensemble de r�gles de r�duction qui aboutissent �

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n-1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|n>>s<rsub|n>>|<cell|\<Leftrightarrow\>>|<cell|<frac|s<rsub|n-1>\<Rightarrow\>i<rsub|n>|s<rsub|n-1>\<Rightarrow\>s<rsub|n>>>>>>
  </eqnarray*>

  Pour un programme bien typ�, �tant donn� <math|s<rsub|n-1>> et
  <math|i<rsub|n>>, il existe un unique �tat <math|s<rsub|n>> qui remplit la
  condition.

  Pour traduire l'init et le reset, on introduit dans chaque scope
  <math|\<Sigma\>> plusieurs variables :

  <\itemize>
    <item><math|nreset<rsub|\<Sigma\>>> : indique que le scope devra �tre
    reset lors du prochain cycle

    <item><math|init<rsub|\<Sigma\>>> : indique que le scope est � l'�tat
    initial dans ce cycle

    <item><math|active<rsub|\<Sigma\>>> : indique qu'un scope est actif dans
    ce cycle
  </itemize>

  Un nouveau scope est introduit dans chaque body d'un bloc activate ou d'un
  �tat d'automate.

  De m�me, les automates introduisent deux variables :\ 

  <\itemize>
    <item><math|state<rsub|A>>, qui d�finit l'�tat de l'automate � ce cycle

    <item><math|nstate<rsub|A>>, qui d�finit l'�tat de l'automate au cycle
    suivant, en supposant qu'il n'y a pas de reset du scope o� l'automate est
    d�fini
  </itemize>

  L'�tat <math|s<rsub|0>> est d�fini par <math|s<rsub|0><around*|(|reset<rsub|/>|)>=true>,
  o� <math|/> est le scope racine englobant tout le programme ; toutes les
  autres variables de <math|\<bbb-V\>> pouvant prendre n'importe quelle
  valeur.

  On suppose que chaque instance de <verbatim|pre> est num�rot�e, et pour
  chaque <math|pre<rsub|i> e>, on introduit la variable <math|m<rsub|i>> qui
  enregistre la valeur de <math|e> dans l'�tat et qui sert de m�moire pour le
  pre.

  Par la suite, que ce soit dans l'�tude de la s�mantique par r�duction ou
  par traduction, on notera toujours <math|l> la m�moire (c'est-�-dire
  <math|s<rsub|n-1>>) et <math|s> l'�tat courant (c'est-�-dire
  <math|s<rsub|n>>, sur lequel on travaille).

  <subsection|S�mantique par r�duction>

  On d�finit notre ensemble d'environnements comme �tant
  <math|\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>\<cup\><around*|{|\<top\>|}>>, la
  valeur <math|\<top\>> signifiant qu'une variable n'a pas encore pris sa
  valeur.

  Pour chaque �l�ment de programme, on va introduire un certain nombre de
  r�gles de r�duction. On applique ces r�gles jusqu'� en d�duire
  <math|l\<Rightarrow\>s>, avec <math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\>,s<around*|(|x|)>\<neq\>\<top\>>.

  Les d�ductions de la forme <math|l\<Rightarrow\>s> signifient ``avec la
  m�moire <math|l>, on peut d�duire du syst�me l'�tat (partiel) <math|s>''.
  Les d�ductions de la forme <math|l,s\<vDash\>e\<rightarrow\><rsub|\<Sigma\>><rsup|v>v>
  signifient ``avec la m�moire <math|l> et l'�tat partiellement calcul�
  <math|s>, l'expression <math|e> calcul�e dans le scope <math|\<Sigma\>>
  prend la valeur <math|v>''.

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour l'activation du scope racine>

  On note <math|i> les entr�es du syst�me � ce cycle ; on fait par d�finition
  l'hypoth�se <math|l\<Rightarrow\>i>, c'est-�-dire qu'on peut obtenir
  l'environnement o� seules les variables d'entr�e sont d�finies. On
  introduit ensuite la r�gle suivante, qui dit que le scope racine est
  toujours actif et jamais reset par la suite :

  <\equation*>
    <frac|l\<Rightarrow\>s|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/>\<assign\>t|]><around*|[|nreset<rsub|/>\<assign\>f|]>>
  </equation*>

  \;

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour l'init dans tous les scopes>

  Pour tout scope <math|\<Sigma\>> d�fini dans le programme, qui est reset si
  et seulement si la condition <math|l,s\<vDash\>r> est vraie, on rajoute les
  r�gles de r�duction suivantes qui permettent de d�terminer si le scope est
  init ou pas :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>r<rsub|\<Sigma\>>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|\<Sigma\>>\<assign\>t|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><rsup|>\<neg\>r<rsub|\<Sigma\>>>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=t>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|\<Sigma\>>\<assign\>f|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><rsup|>\<neg\>r<rsub|\<Sigma\>>>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=f>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|\<Sigma\>>\<assign\>l<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>|]>>
  </equation*>

  \;

  En particulier, pour le scope racine on instancie ces r�gles avec
  <math|<around*|(|l,s\<vDash\>r<rsub|/>|)>\<Leftrightarrow\>l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=t>

  <subsubsection|R�gles de r�duction d'expressions>

  Ces r�gles permettent d'exprimer le calcul d'une expression. On note
  <math|\<Sigma\>> le scope dans lequel l'expression est �valu�e.

  <\equation*>
    <frac||l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>c>,c\<in\>\<bbb-V\>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|s<around*|(|x|)>\<neq\>\<top\>|l,s\<vDash\>x\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>s<around*|(|x|)>>,x\<in\>\<bbb-X\>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac||l,s\<vDash\>pre<rsub|i> e\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>l<around*|(|m<rsub|i>|)>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|1>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|2>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|2>>>>>>|l,s\<vDash\>e<rsub|1>\<odot\>e<rsub|2>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>\<odot\>v<rsub|2>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|1>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>>>>>>|l,s\<vDash\><around*|(|e<rsub|1>\<rightarrow\>e<rsub|2>|)>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>=f>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|2>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|2>>>>>>|l,s\<vDash\><around*|(|e<rsub|1>\<rightarrow\>e<rsub|2>|)>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|2>>
  </equation*>

  <\equation*>
    etc\<ldots\>
  </equation*>

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les pre>

  Pour chaque expression <math|pre<rsub|i> e> introduite dans le scope
  <math|\<Sigma\>>, on donne les deux r�gles suivante :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|i>\<assign\>v|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=f>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|i>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|i>|)>|]>>
  </equation*>

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les affectations>

  Pour toute affectation <math|x=e> apparaissant dans le scope
  <math|\<Sigma\>>, on donne la r�gle suivante :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|x\<assign\>v|]>>
  </equation*>

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les blocs activate>

  Pour tout bloc <math|activate if c then b<rsub|1> else b<rsub|2>>
  apparaissant dans le scope <math|\<Sigma\>>, on cr�e deux nouveaux scopes
  <math|\<Sigma\><rsub|1>> et <math|\<Sigma\><rsub|2>> dans lesquels on
  rajoute les r�gles de r�ductions pour <math|b<rsub|1>> et <math|b<rsub|2>>
  respectivement, et on rajoute les r�gles suivantes qui r�gissent
  l'activation des deux scopes <math|\<Sigma\><rsub|1>> et
  <math|\<Sigma\><rsub|2>> :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=f>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|1>>\<assign\>f|]><around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|2>>\<assign\>f|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>t>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|1>>\<assign\>t|]><around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|2>>\<assign\>f|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>f>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|1>>\<assign\>f|]><around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|2>>\<assign\>t|]>>
  </equation*>

  Les deux scopes <math|\<Sigma\><rsub|1>> et <math|\<Sigma\><rsub|2>>
  h�ritent de la condition de reset du scope <math|\<Sigma\>>.

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les automates>

  On note <math|A> l'automate, <math|s<rsub|0>> son �tat initial. Les r�gles
  d'activation des diff�rents scopes des �tats se font en fonction de la
  variable <math|state<rsub|A>> d�finie pour l'automate <math|A> comme suit :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>r<rsub|\<Sigma\>>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|state<rsub|A>=s<rsub|0>|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>\<neg\>r<rsub|\<Sigma\>>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|state<rsub|A>=l<around*|(|nstate<rsub|A>|)>|]>>
  </equation*>

  Puis pour chaque �tat <math|s<rsub|i>>, on d�finit <math|\<Sigma\><rsub|i>>
  son scope dans lequel on traduit son corps, puis on rajoute la r�gle
  d'activation suivante :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|state<rsub|A>|)>=s<rsub|i>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>=t|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|state<rsub|A>|)>\<neq\>s<rsub|i>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>=f|]>>
  </equation*>

  Dans tous les scopes <math|\<Sigma\><rsub|i>>, la condition de reset peut
  �tre �ventuellement augment�e d'un <math|\<vee\>> avec une condition du
  type <math|l<around*|(|nreset<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>|)>=t>, o� la variable
  <math|nreset<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>> est mise � true d�s que l'on emprunte
  une transition qui reset, et � false le reste du temps.

  La r�gle pour une transition <math|s<rsub|i><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|c>s<rsub|j>>
  sont du style :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|state<rsub|A>|)>=s<rsub|i>>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsub|\<Sigma\>><rsup|v>t>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|nstate<rsub|A>\<assign\>s<rsub|j>|]>>
  </equation*>

  � cela, il faut rajouter les conditions qui disent que l'on emprune
  exactement une transition � chaque cycle, ainsi que la partie qui d�finit
  les variables <math|nreset<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>>.

  <\example>
    On va �crire les r�gles de r�duction qui d�finissent le programme suivant
    :

    <\verbatim-code>
      node half() returns(c: int)

      var half: bool;

      \ \ \ \ a, b: int;

      \ \ \ \ la, lb: int;

      let

      \ \ half = true -\<gtr\> not pre half;

      \ \ activate

      \ \ \ \ if half then let

      \ \ \ \ \ \ \ \ a = la + 1;

      \ \ \ \ \ \ \ \ b = lb;

      \ \ \ \ tel else let

      \ \ \ \ \ \ \ \ a = la;

      \ \ \ \ \ \ \ \ b = lb + 1;

      \ \ \ \ tel

      \ \ returns a, b;

      \ \ la = 0 -\<gtr\> pre a;

      \ \ lb = 0 -\<gtr\> pre b;

      \ \ c = a - b;

      tel
    </verbatim-code>

    Les r�gles de calcul des expressions sont tout le temps les m�mes. Les
    r�gles d�duites de la structure du programme sont les suivantes :

    Initialisation :

    <\equation*>
      <frac|l\<Rightarrow\>s|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/>\<assign\>t|]><around*|[|nreset<rsub|/>\<assign\>f|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s
      >|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=t>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|\<Sigma\>>\<assign\>t|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s
      >|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=f>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|/>|)>=t>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|/>\<assign\>f|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s
      >|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=f>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|/>|)>=f>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|/>\<assign\>l<around*|(|init<rsub|/>|)>|]>>
    </equation*>

    Affectation <verbatim|c = a - b> :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>a-b\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|c\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    Affectations de <verbatim|la<math|>> et <verbatim|lb> :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><around*|(|0\<rightarrow\>pre<rsub|1>|)>
      a\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|la\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><around*|(|0\<rightarrow\>pre<rsub|2>
      b|)>\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|lb\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    Affectation de <verbatim|half> :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><around*|(|true\<rightarrow\>not
      pre<rsub|3> half|)>\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|half\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    M�morisation des valeurs pour <verbatim|pre a>, <verbatim|pre b> et
    <verbatim|pre half> :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>a\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|1>\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>b\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|2>\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>half\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|3>\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=f>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|1>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|1>|)>|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=f>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|2>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|2>|)>|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=f>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|3>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|3>|)>|]>>
    </equation*>

    Activation des deux moiti�s du activate :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>half\<rightarrow\>t>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/1>:=t|]><around*|[|act<rsub|/2>\<assign\>f|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>half\<rightarrow\>f>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/1>:=f|]><around*|[|act<rsub|/2>\<assign\>t|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=f>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/1>:=f|]><around*|[|act<rsub|/2>\<assign\>f|]>>
    </equation*>

    Affectation de <verbatim|a> et <verbatim|b> dans la premi�re moiti� :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/1>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>la+1\<rightarrow\><rsub|/1><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|a\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/1>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>lb\<rightarrow\><rsub|/1><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|b\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    Et dans la deuxi�me moiti� :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/2>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>la\<rightarrow\><rsub|/2><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|a\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/2>|)>=t>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>lb+1\<rightarrow\><rsub|/2><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|b\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    Et c'est tout.
  </example>

  (il faudrait faire un exemple avec des automates, mais �a risque d'�tre
  encore plus long !)

  <subsection|S�mantique par traduction, r�gles de traduction>

  On d�finit la traduction de <math|P> en une formule
  <math|F<around*|(|l,s|)>> comme suit.

  <subsubsection|Traduction des expressions num�riques et bool�ennes>

  On utilise des formules ``� trous'' pour faire la traduction. Un trou
  <math|\<box\>> correspond � la fonction <math|e\<mapsto\>e>, une formule
  <math|a\<wedge\>x=\<box\>> correspond � la fonction
  <math|e\<mapsto\>a\<wedge\>x=e>, etc. L'argument d'une fonction trou peut
  aussi �tre un couple d'expressions, ainsi
  <math|\<box\><rsub|1>+\<box\><rsub|2>> correspond � la fonction
  <math|<around*|(|e,f|)>\<mapsto\>e+f>.

  On d�finit la fonction <math|T<around*|(|\<Sigma\>,e,w|)>> comme �tant la
  traduction de l'expression <math|e> consid�r�e dans le scope
  <math|\<Sigma\>> et devant �tre plac�e dans le trou <math|w>. En pratique,
  on divise <math|T> en deux fonctions, une pour les expressions bool�ennes
  et une pour les expressions num�riques. Le r�sultat d'une traduction doit
  g�n�ralement �tre une formule bool�enne.

  On note <math|\<odot\>> n'importe quel op�rateur binaire :
  <math|+,-,\<times\>,/,mod,\<less\>,\<gtr\>,\<leqslant\>,\<geqslant\>,=,\<neq\>,\<wedge\>,\<vee\>>.

  Les r�gles sont les suivantes :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|e<rsub|1>,e<rsub|2>,\<ldots\>,e<rsub|n>|)>,w|)>>|<cell|=>|<cell|w<around*|[|T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>,\<box\>|)>,\<ldots\>,T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|n>,\<box\>|)>|]>>>|<row|<cell|\<forall\>c\<in\>\<bbb-V\>,<text|
    \ \ \ \ \ \ \ >T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,c,w|)>>|<cell|=>|<cell|w<around*|[|c|]>>>|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\>,<text|
    \ \ \ \ \ \ >T<around*|(|\<Sigma\>,x,w|)>>|<cell|=>|<cell|w<around*|[|s<around*|(|x|)>|]>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,pre<rsub|i>
    e,w|)>>|<cell|=>|<cell|w<around*|[|l<around*|(|m<rsub|i>|)>|]>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>\<rightarrow\>e<rsub|2>,w|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>,w|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|2>,w|)>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>\<odot\>e<rsub|2>,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<rsub|n><around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|e<rsub|1>,e<rsub|2>|)>,w<around*|[|\<box\><rsub|1>\<odot\>\<box\><rsub|2>|]>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,if
    c then e<rsub|1> else e<rsub|2>,w|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|T<around*|(|\<Sigma\>,c,\<box\>|)>\<wedge\>T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>,w|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>T<around*|(|\<Sigma\>,c,\<box\>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>,w|)>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,-e,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e,w<around*|[|-\<box\>|]>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,\<neg\>e,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e,w<around*|[|\<neg\>\<box\>|]>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Par la suite, une affectation <math|x=e> sera traduite par la formule
  bool�enne <math|T<around*|(|\<Sigma\>,e,x=\<box\>|)>>.

  <\example>
    Effectuons par exemple la traduction de <math|x=if y\<geqslant\>0 then y
    else -y> :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|F>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,if
      y\<geqslant\>0 then y else -y,x=\<box\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|T<around*|(|\<Sigma\>,y\<geqslant\>0,\<box\>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,y,x=\<box\>|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>T<around*|(|\<Sigma\>,y\<geqslant\>0,\<box\>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,-y,x=\<box\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|y\<geqslant\>0\<wedge\>x=y|)>\<vee\><around*|(|\<neg\><around*|(|y\<geqslant\>0|)>\<wedge\>x=-y|)>>>>>
    </eqnarray*>
  </example>

  <\example>
    Effectuons la traduction de <math|x=0\<rightarrow\>pre<rsub|1> x + 1>.

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|F>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,0\<rightarrow\>pre<rsub|1>x
      + 1,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,0,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,pre<rsub|1>x
      + 1,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|pre<rsub|1>x,1|)>,s<around*|(|x|)>=\<box\><rsub|1>+\<box\><rsub|2>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\><around*|(|s<around*|(|x|)>=\<box\><rsub|1>+\<box\><rsub|2>|)><around*|(|T<around*|(|\<Sigma\>,pre<rsub|1>x,\<box\>|)>,T<around*|(|\<Sigma\>,1,\<box\>|)>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\><around*|(|s<around*|(|x|)>=\<box\><rsub|1>+\<box\><rsub|2>|)><around*|(|l<around*|(|m<rsub|1>|)>,1|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=l<around*|(|m<rsub|1>|)>+1|)>>>>>
    </eqnarray*>

    Remarque : dans une �tape � part, il faut penser � m�moriser une valeur
    pour <math|m<rsub|1>>, c'est-�-dire � introduire l'�quation
    <math|s<around*|(|m<rsub|1>|)>=s<around*|(|x|)>>
  </example>

  <subsubsection|Traduction de scopes et de programmes>

  On d�finit une traduction compl�te pour les programmes, en pensant �
  introduire les �quations de persistance de la m�moire pour les pre. On
  introduit aussi des �quations qui d�terminent si un scope est actif ou
  inactif, si il est init ou pas, si il doit �tre reset ou pas, en fonction
  des divers param�tres du programme (�tats d'automates, conditions de blocs
  activate). De mani�re g�n�rale, un scope a deux traductions qui sont
  produites : une pour le cas o� ce scope est actif, et une pour le cas o� il
  est inactif (dans le cas inactif, il s'agit simplement de perp�tuer les
  m�moires). Ainsi la traduction d'un bloc ``<math|activate if c then
  b<rsub|1> else b<rsub|2>>'' sera du style
  <math|<around*|(|c\<wedge\>T<rsub|active><around*|(|b<rsub|1>|)>\<wedge\>T<rsub|inactive><around*|(|b<rsub|2>|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>c\<wedge\>T<rsub|active><around*|(|b<rsub|2>|)>\<wedge\>T<rsub|inactive><around*|(|b<rsub|1>|)>|)>>.

  Tout cela est long � �crire, aussi nous nous contenterons de donner un
  exemples.

  <\example>
    Traduction du programme :

    <\verbatim-code>
      node test() returns(x: int)

      var lx: int;

      let

      \ \ lx = 0 -\<gtr\> pre x;

      \ \ x = if lx \<gtr\>= 5 then 0 else lx + 1;

      tel
    </verbatim-code>

    On obtient la formule :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|<around*|(|<stack|<tformat|<cwith|1|-1|2|2|cell-halign|l>|<table|<row|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|\<vee\>>|<cell|\<neg\>l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>\<wedge\><around*|(|<stack|<tformat|<cwith|1|-1|2|2|cell-halign|l>|<table|<row|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|/>|)>\<wedge\>\<neg\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|\<vee\>>|<cell|\<neg\>l<around*|(|act<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>=l<around*|(|init<rsub|/>|)>>>>>>|)>>>>>>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|\<neg\>s<around*|(|nreset<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|lx|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|lx|)>=l<around*|(|m<rsub|1>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|<around*|(|s<around*|(|lx|)>\<geqslant\>5\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|s<around*|(|lx|)>\<less\>5\<wedge\>s<around*|(|x|)>=s<around*|(|lx|)>+1|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|s<around*|(|m<rsub|1>|)>=s<around*|(|x|)>>>>>
    </eqnarray*>
  </example>

  Pour d'autres traductions, voir les sorties produites par
  <verbatim|scade-analyzer>.

  <section|Interpr�te pour s�mantique concr�te>

  Une premi�re fa�on de faire un interpr�te pour la s�mantique concr�te
  serait de faire un interpr�te de formules logiques, et d'appliquer la
  formule obtenue par traduction r�p�titivement jusqu'� obtenir un point
  fixe.

  Ce n'est cependant pas cette solution que nous avons choisi de mettre en
  place, notre solution est plus proche de la s�mantique par r�duction
  d�finie plus haut.

  Nous avons choisi de repr�senter un �tat <math|s> du programme en cours de
  calcul comme une valeur mutables, o� les variables sont calcul�es au fur et
  � mesure qu'on les demande. La structure <math|s> peut donc contenir � un
  instant donn� pour une certaine variable soit une valeur, soit une fonction
  � appeller pour que cette valeur soit calcul�e et rajout�e � <math|s>.

  La proc�dure de calcul consiste � activer le scope racine, puis � appeller
  les fonctions de calcul sur les variables de sortie jusqu'� ce qu'on
  obtienne des valeurs. On enregistre ensuite la portion d'�tat qui nous
  int�resse pour le cycle suivant.

  L'activation d'un scope se fait selon la proc�dure suivante :

  <\itemize>
    <item>Pour une affectation <math|x=e>, rajouter dans <math|s> pour la
    variable <math|x> la fonction qui calcule <math|e> et rajoute la valeur
    trouv�e dans <math|s>.

    <item>Pour un bloc activate, rajouter dans <math|s> pour toutes les
    variables return�es par le bloc, la fonction qui choisit la branche �
    activer en calculant les conditions et active le scope correspondant.

    <item>Pour un automate, rajouter dans <math|s> pour toutes les variables
    return�es par l'automate, la fonction qui choisit l'�tat � activer en se
    basant sur l'�tat enregistr� au cycle pr�c�dent, et active le scope
    correspondant.
  </itemize>

  L'�tape d'enregistrement des variables d'int�r�t pour le cycle suivant
  comporte notamment une phase de calcul des transitions faibles emprunt�es
  par les automates du programme, pour qu'� l'�tape suivante le calcul puisse
  reprendre directement. Les restart sont aussi trait�s � ce moment l�, avec
  une fonction pour reset un scope qui remet toutes les variables init � true
  et tous les �tats � l'�tat initial, r�cursivement.

  <section|Interpr�tation abstraite>

  \;

  <underline|<verbatim|/!\\>> <strong|travaux travaux travaux>
  <verbatim|<underline|/!\\>>

  \;

  \;

  Le but de l'interpr�tation abstraite est de prouver certaines propri�t�s
  sur un programme. Pour cela, nous passons par une premi�re approximation,
  la s�mantique collectrice, que nous approximons une seconde fois en la
  passant dans un domaine de repr�sentation abstraite.

  <subsection|S�mantique collectrice>

  <subsubsection|Nouvelle notation : fonction de transition>

  Notons <math|\<bbb-X\>> l'ensemble des variables. On note
  <math|\<bbb-X\>=\<bbb-X\><rsub|e>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|n>> : c'est l'union
  des variables de type �num�ration et des variables de \ type num�rique.

  Un �tat du syst�me est une fonction <math|\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>,
  o� <math|\<bbb-V\>> repr�sente l'ensemble des valeurs (num�riques ou
  �num�ration). On note <math|\<bbb-M\>=\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>
  l'ensemble des �tats du syst�me.

  Avant le premier cycle, le syst�me peut �tre dans n'importe quel �tat de
  <math|I> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|I>|<cell|=>|<cell|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\>
    \| s<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=t|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Entre deux cycles, les variables qui comptent r�ellement dans <math|s> sont
  les variables actif et reset pour les scopes, les variables d'�tat pour les
  automates, et les valeurs des <em|pre>.

  Vision habituelle : on a une suite d'�tats
  <math|s<rsub|0>,s<rsub|1>,\<ldots\>> qui repr�sentent la m�moire entre deux
  cycles. <math|s<rsub|0>> est d�fini. On a une relation de transition qui
  prend <math|s<rsub|n>> et les entr�es <math|i<rsub|n+1>> et qui calcule les
  sorties <math|o<rsub|n+1>> et l'�tat suivant <math|s<rsub|n+1>> :

  <\equation*>
    s<rsub|0><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|1>>o<rsub|1>,s<rsub|1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|2>>o<rsub|2>,s<rsub|2><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|3>>o<rsub|3>,s<rsub|3>\<rightarrow\>*\<cdots\>*
  </equation*>

  Nous introduisons ici une seconde notation pour ce fonctionnement.

  Les variables de l'�tat pr�c�dent <math|s<rsub|n-1>>, au lieu d'�tre
  consid�r�es comme un lieu � part, sont partiellement copi�es dans l'�tat
  <math|s<rsub|n>> par une fonction que l'on appellera fonction de cycle.
  Cette fonction copie uniquement les variables dont les valeurs pr�c�dentes
  sont utiles pour le calcul de la transition, et pr�fixe leur noms d'un
  prefixe standard, ``L'', qui indique que ce sont des variables <em|last>,
  c'est-�-dire qu'on a leur valeur du cycle pr�c�dent.

  La fonction de cycle <math|c : \<bbb-M\>\<rightarrow\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>>
  s'occupe de faire passer les valeurs suivantes aux valeurs actuelles (nous
  �crivons cette fonction comme non-d�terministe car apr�s cette fonction un
  certain nombre de variables sont oubli�es et on consid�re que leurs valeurs
  n'ont pas d'importance). Elle peut �tre d�finie � partir d'un ensembles de
  variables <math|C>, qui sont les variables qui nous int�resseront lors du
  calcul de la transition :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|c<around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|s<rprime|'>\<in\>\<bbb-M\>
    \| \<forall\>x\<in\>C,s<rprime|'><around*|(|L
    x|)>=s<around*|(|x|)>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  \;

  D�roulement d'un cycle : on prend l'�tat <math|s> apr�s passage par la
  fonction de cycle, on y met les valeurs des entr�es du syst�me. On applique
  ensuite la fonction <math|f : \<bbb-M\>\<rightarrow\>\<bbb-M\>> qui calcule
  toutes les variables du syst�me (elle peut �tre d�finie comme la saturation
  de la s�mantique par r�duction, comme le point fixe de l'application d'une
  formule, ou plus classiquement comme l'application d'une s�rie
  d'instructions en style imp�ratif, r�sultat de la compilation du
  programme). On peut � ce moment r�cup�rer les valeurs de sorties.

  Avec nos notations : <math|o<rsub|n+1>> est la restriction de
  <math|f<around*|(|c<around*|(|s<rsub|n>|)>+i<rsub|n+1>|)>> aux variables de
  sortie , o� <math|c<around*|(|s<rsub|n>|)>+i<rsub|n+1>> correspond �
  d�finir les variables de <math|c<around*|(|s<rsub|n>|)>> et de
  <math|i<rsub|n+1>>.

  <\remark>
    En principe, quel que soit <math|x\<in\>c<around*|(|s<rsub|n>|)>>,
    <math|f<around*|(|x+i<rsub|n+1>|)>> ne peut �tre qu'un seul
    environnement, car le programme est d�terministe. C'est pourquoi on se
    permet l'abus de notation <math|f<around*|(|c<around*|(|s<rsub|n>|)>+i<rsub|n+1>|)>>.
  </remark>

  <subsubsection|Suppression des entr�es, s�mantique collectrice>

  On s'int�resse maintenant � l'ex�cution d'un programme SCADE quel que
  soient ses entr�es <math|i<rsub|n>>. On peut faire des hypoth�ses sur ces
  entr�es en utilisant la directive <verbatim|assume> du langage. On suppose
  que l'on dispose d'une fonction <math|q :
  \<bbb-M\>\<rightarrow\><around*|{|t,f|}>> qui nous dit si un environnement
  est conforme � la sp�cification.

  On s'int�resse maintenant � la s�mantique non d�terministe suivante :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\>
    \| s<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=t|}>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1><rsub|>>|<cell|=>|<cell|g<around*|(|s<rsub|n>|)>>>|<row|<cell|g<around*|(|x|)>>|<cell|=>|<cell|<big|cup><rsub|s\<in\>x><around*|{|f<around*|(|a|)>,a\<in\>c<around*|(|s|)>,q<around*|(|f<around*|(|a|)>|)>=t|}>>>>>
  </eqnarray*>

  \;

  La valeur <math|s<rsub|n>> contient tous les environnements possibles pour
  le syst�me � la <math|n>-�me �tape, quelles que soient les entr�es jusque
  l�.

  On d�finit maintenant la s�mantique collectrice du programme comme �tant la
  valeur :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|S>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|s<rsub|0>>
    <around*|(|\<lambda\>s.s<rsub|0>\<cup\>g<around*|(|s|)>|)>>>|<row|<cell|S>|<cell|\<in\>>|<cell|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  <math|S> repr�sente ici exactement l'ensemble de tous les �tats accessibles
  par le syst�me, � tout moment, quelles que soient les valeurs en entr�e.

  Toute la suite de notre travail consistera � construire une approximation
  la meilleure possible de <math|S>.

  <subsection|G�n�ralit�s sur l'interpr�tation abstraite>

  Une abstraction est d�finie par une correspondance de Galois entre
  <math|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>> et <math|\<cal-D\><rsup|#>>,
  repr�sentation abstraite d'une partie de <math|\<bbb-M\>>. L'abstraction
  peut �tre caract�ris�e par sa fonction de concr�tisation :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<gamma\><rsub|\<bbb-M\>>>|<cell|:>|<cell|\<cal-D\><rsup|#>\<rightarrow\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  \ On peut aussi g�n�ralement s'appuyer sur l<math|>'existence d'une
  fonction d'abstraction :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<alpha\><rsub|\<bbb-M\>>>|<cell|:>|<cell|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#>>>>>
  </eqnarray*>

  Cette fonction fait correspondre � une partie de <math|\<bbb-M\>> sa
  meilleure approximation dans le domaine abstrait (par exemple dans le cas
  des polyh�dres, l'abstraction d'un ensemble fini de points est leur
  enveloppe convexe, mais un cercle n'a pas de meilleure abstraction).

  Dans tous les cas, on s'attend � ce que
  <math|\<forall\>x\<in\>\<cal-D\><rsup|#>,x\<sqsubseteq\>\<alpha\><around*|(|\<gamma\><around*|(|x|)>|)>>
  d'une part et <math|\<forall\>y\<in\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>,y\<subseteq\>\<gamma\><around*|(|\<alpha\><around*|(|y|)>|)>>
  d'autre part.

  De base ici, nous avons deux choix simples pour <math|\<cal-D\><rsup|#>> :
  les intervalles et les polyh�dres convexes. Ceux-ci sont consid�r�s acquis
  pour la suite ; on les note <math|\<cal-D\><rsub|int><rsup|#>> et
  <math|\<cal-D\><rsub|poly><rsup|#>>, avec les fonctions de concr�tisation
  <math|\<gamma\><rsub|int>> et <math|\<gamma\><rsub|poly>> associ�es.

  On note <math|\<bbb-E\>> l'ensemble des �galit�s et in�galit�s sur des
  variables de <math|\<bbb-X\>>. Par exemple les �l�ments suivants sont des
  �quations de <math|\<bbb-E\>> : <math|x=0,c=tt,y\<geqslant\>5*x-2>.

  Pour <math|s\<in\>\<bbb-M\>> et <math|e\<in\>\<bbb-E\>>, on note
  <math|s\<vDash\>e> si l'expression <math|e> est vraie dans l'�tat <math|s>.

  Pour un domaine abstrait <math|\<cal-D\><rsup|#>> et pour une expression
  <math|e\<in\>\<bbb-E\>>, on suppose que l'on a une fonction s�mantique
  <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>> :
  \<cal-D\><rsup|#>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#>> qui restreint
  l'abstraction <math|s<rsup|#>> en une sur-approximation (la meilleure
  possible) de <math|\<alpha\><around*|(|<around*|{|s\<in\>\<gamma\><around*|(|s<rsup|#>|)>
  \| s\<vDash\>e|}>|)>> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<around*|{|s\<in\>\<gamma\><around*|(|s<rsup|#>|)>
    \| s\<vDash\>e|}>>|<cell|\<sqsubseteq\>>|<cell|\<gamma\><around*|(|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s<rsup|#>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  La fonction de transition <math|f> est repr�sent�e dans l'abstrait par une
  fonction <math|f<rsup|#>> qui correspond � l'application d'un certain
  nombre de contraintes de <math|\<bbb-E\>>, ainsi que de disjonction de cas.
  On remarque que l'aspect imp�ratif disparait compl�tement, on n'a plus
  qu'un ensemble d'�quations et de disjonctions. La traduction du programme
  SCADE en formule logique donne directement une formule de ce style que l'on
  peut appliquer sur un environnement abstrait.

  La fonction de cycle <math|c> correspond � conserver un certain nombre de
  variables en tant que \S m�moires \T, en pr�fixant leur noms d'un \S L \T
  pour <em|last>. Notons <math|C> l'ensemble des variables � conserver. Cette
  fonction peut �tre repr�sent�e dans l'abstrait par l'op�rateur
  <math|c<rsup|#>> dont une d�finition est :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|c<rsup|#><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<alpha\><around*|(|<around*|{|\<rho\>\<in\>\<bbb-M\>
    \| \<forall\>x\<in\>C,\<exists\>\<rho\><rprime|'>\<in\>\<gamma\><around*|(|s|)>\|\<rho\><around*|(|L
    x|)>=\<rho\><rprime|'><around*|(|x|)>|}>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  (cette d�finition n'est pas constructive car on n'impl�mente jamais
  <math|\<gamma\>> directement)

  Cela correspond � oublier un certain nombre de variables qui ne nous
  int�ressent plus, et � renommer celles que l'on garde.

  Par facilit�, on note <math|g<rsup|#>=c<rsup|#>\<circ\>f<rsup|#>>. �tant
  donn� qu'un programme est essentiellement une grosse boucle, la valeur qui
  nous int�resse est l'abstraction de <math|S> donn�e par :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|S<rsup|#>>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|I<rsup|#>><around*|(|\<lambda\>i.I<rsup|#>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|i|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  O� <math|s<rsub|0>> est l'�tat initial du syst�me et est d�fini par
  <math|I<rsup|#>=<around*|\<llbracket\>|i|\<rrbracket\>><around*|(|\<top\>|)>>,
  o� <math|i> est une �quation du type <math|Lnreset<rsub|/>=tt>.

  Nous en venons donc � chercher des domaines abstraits les mieux � m�me de
  repr�senter les diff�rentes contraintes exprimables dans <math|\<bbb-E\>>.
  Dans notre cas, celles-ci se divisent essentiellement en deux cat�gories :

  <\itemize>
    <item>Contraintes num�riques : les variables sont dans
    <math|\<bbb-X\><rsub|n>>, les constantes dans <math|\<bbb-N\>> (ou
    <math|\<bbb-Q\>>), les op�rateurs sont
    <math|+,-,\<times\>,\<div\>,=,\<geqslant\>,\<neq\>>. On note
    <math|\<bbb-E\><rsub|n>> l'ensemble de telles contraintes.

    <item>Contraintes �num�r�es : les variables sont dans
    <math|\<bbb-X\><rsub|e>>, les constantes dans un ensemble fini qui d�pend
    du types des variables, les op�rateurs sont <math|\<equiv\>,\<nequiv\>>.
    On note <math|\<bbb-E\><rsub|e>> l'ensemble de telles contraintes.
  </itemize>

  Les domaines num�riques <math|\<cal-D\><rsub|int><rsup|#>> et
  <math|\<cal-D\><rsub|poly><rsup|#>> ne sont pas � m�me de repr�senter
  correctement les contraintes de <math|\<bbb-E\><rsub|e>>. G�n�ralement, on
  d�finit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>\<nocomma\>,<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|int>>|<cell|=>|<cell|id<rsub|\<cal-D\><rsub|int><rsup|#>>>>|<row|<cell|\<forall\>e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>,<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|poly>>|<cell|=>|<cell|id<rsub|\<cal-D\><rsub|poly><rsup|#>>>>>>
  </eqnarray*>

  Les variables bool�ennes peuvent �tre repr�sent�es par <math|0> et
  <math|1>, par exemple on peut introduire les restrictions suivantes (en
  notant <math|\<bbb-X\><rsub|b>> l'ensemble des variables � valeurs
  bool�ennes) :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x=tt|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=1|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x=ff|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=0|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>|<row|<cell|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x=y|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=y|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>|<row|<cell|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x\<neq\>y|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=1-y|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>>>
  </eqnarray*>

  Les r�sultats sont g�n�ralement plus que m�diocres. De plus, on ne peut pas
  repr�senter ainsi les valeurs d'�num�rations ayant plus de deux �l�ments.

  <section|Domaines abstraits et disjonction de cas>

  Pour l'analyse de programmes SCADE, l'analyse de l'ensemble de la boucle de
  contr�le comme une seule valeur dans un environnement abstrait num�rique
  est insuffisante. Il nous a donc �t� crucial de d�velopper deux domaines
  abstraits capables de faire des disjonctions de cas afin de traiter de
  mani�re plus fine l'�volution du programme.

  Nous souhaitons pouvoir faire des disjonctions de cas selons les valeurs
  des variables de <math|\<bbb-X\><rsub|e>>. Par exemple si on a un automate
  <math|A> dont la variable d'�tat s'appelle <math|q> et �volue dans
  l'ensemble <math|Q=<around*|{|up,down,left,right,stay|}>>, on voudrait
  pouvoir isoler cette variable des autres, ne plus l'inclure dans le domaine
  abstrait et l'utiliser pour diff�rencier plusieurs valeurs abstraites. Il
  nous faut donc red�finir le domaine abstrait <math|\<cal-D\>> et surtout la
  fonction d'application d'une condition <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>>>.

  <subsection|Domaine � disjonction simple>

  Supposons que l'on ait maintenant trois ensembles de variables :

  <\itemize>
    <item><math|\<bbb-X\><rsub|n>> : variables num�riques

    <item><math|\<bbb-X\><rsub|e>> : variables �num�r�es non consid�r�es
    comme variables de disjonction

    <item><math|\<bbb-X\><rsub|d>> : variables de disjonction, prenant leurs
    valeurs dans <math|\<bbb-V\><rsub|d>> un ensemble fini (pour �tre pr�cis,
    il faudrait noter <math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>>,
    <math|\<bbb-V\><rsub|d><around*|(|x|)>> l'ensemble des valeurs possibles
    pour la valeur <math|x>, qui peut �tre diff�rent selon la variable - on
    est ammen� � faire un peu de typage, il faut en particulier s'assurer que
    les contraintes que l'on donne sont entre deux variables pouvant prendre
    les m�mes valeurs).
  </itemize>

  On consid�re dans cette section que l'on a un domaine abstrait
  <math|\<cal-D\><rsup|#>> capable de g�rer les contraintes sur les variables
  num�riques et sur les variables �num�r�es, mais sans relation entre les
  deux. Le domaine <math|\<cal-D\><rsup|#>> repr�sente une abstraction de
  <math|\<bbb-M\><rsub|n>=<around*|(|\<bbb-X\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|e>|)>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>.
  On note <math|\<bot\><rsub|n>> et <math|\<top\><rsub|n>> les �l�ments
  bottom et top de ce treillis, <math|\<sqcup\><rsub|d>> et
  <math|\<sqcap\><rsub|d>> les bornes inf et sup de ce treillis.

  La particularit� des variables d'�tat est que l'on ne r�alise pas
  d'abstraction sur celles-ci : on repr�sente directement un �tat par une
  valuation de ces variables, dans <math|\<bbb-X\><rsub|d>\<rightarrow\>\<bbb-V\><rsub|d>=\<bbb-M\><rsub|d>>.
  On peut le munir d'une structure de treillis :
  <math|\<bbb-M\><rsub|d>\<cup\><around*|{|\<bot\>,\<top\>|}>> forme un
  treillis plat : <math|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>,x\<sqsubseteq\>y\<Leftrightarrow\>x=y>,
  <math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>,\<bot\>\<sqsubset\>x\<sqsubset\>\<top\>>
  (l'utilit� de cette structure n'apparait pas.)

  On appelle toujours <math|\<bbb-M\>=\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>, o�
  <math|\<bbb-X\>=\<bbb-X\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|e>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|d>>.
  On a une injection �vidente de <math|\<bbb-M\><rsub|d>> dans
  <math|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>>, on identifie donc
  <math|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>> � <math|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\>\|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>,s<around*|(|x|)>=\<bbb-M\><rsub|d><around*|(|x|)>|}>>.
  De m�me on identifie <math|e\<in\>\<bbb-M\><rsub|n>> �
  <math|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\> \| \<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|e>,s<around*|(|x|)>=\<bbb-M\><rsub|n><around*|(|x|)>|}>>.

  On construit maintenant le domaine abstrait disjonctif comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<cal-D\><rsub|d><rsup|#>>|<cell|=>|<cell|\<bbb-M\><rsub|d>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#>>>|<row|<cell|\<gamma\><rsub|d><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|<big|cup><rsub|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>>d\<cap\>\<gamma\><around*|(|s<around*|(|d|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Les �l�ments <math|\<top\>> et <math|\<bot\>> sont d�finis comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<bot\><rsub|d>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.\<bot\><rsub|n>>>|<row|<cell|\<top\><rsub|d>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.\<top\><rsub|n>>>>>
  </eqnarray*>

  On v�rifie bien que <math|\<gamma\><rsub|d><around*|(|\<bot\><rsub|d>|)>=\<varnothing\>>
  et <math|\<gamma\><rsub|d><around*|(|\<top\><rsub|d>|)>=\<bbb-M\>>.

  On peut aussi d�finir les op�rations <math|\<sqcup\>> et <math|\<sqcap\>> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s\<sqcup\>t>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<around*|(|s<around*|(|d|)>\<sqcup\><rsub|n>t<around*|(|d|)>|)>>>|<row|<cell|s\<sqcap\>t>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<around*|(|s<around*|(|d|)>\<sqcap\><rsub|n>t<around*|(|d|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Enfin, la partie int�ressante : on peut d�finir un certain nombres
  d'op�rateurs de restriction :

  <\itemize>
    <item><math|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>,\<forall\>s\<in\>\<cal-D\><rsub|d><rsup|#>>,

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=y|\<rrbracket\>><rsub|d><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>=d<around*|(|y|)>>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|n>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x\<neq\>y|\<rrbracket\>><rsub|d><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>\<neq\>d<around*|(|y|)>>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|n>>|<cell|sinon>>>>>>>>>
    </eqnarray*>

    <item><math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>,\<forall\>v\<in\>\<bbb-V\><rsub|d>>,

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=v|\<rrbracket\>><rsub|d><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>=v>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|n>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x\<neq\>v|\<rrbracket\>><rsub|d><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>\<neq\>v>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|n>>|<cell|sinon>>>>>>>>>
    </eqnarray*>
  </itemize>

  <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>>> est donc d�fini correctement
  pour tout <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|d>>, o� <math|\<bbb-E\><rsub|d>> est
  l'ensemble des conditions sur variables de disjonction. Pour toute
  expression <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|n>> ou
  <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>>, le domaine <math|\<cal-D\><rsup|#>> est
  sens� savoir les prendre en compte de mani�re satisfaisante, on d�finit
  donc :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>e\<in\>\<bbb-E\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-E\><rsub|e>,<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|d><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s<around*|(|d|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  L'op�rateur de widening reste probl�matique. On peut d�finir un op�rateur
  de widening point par point :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s \<nabla\><rsub|d>
    t>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.s<around*|(|d|)>\<nabla\>t<around*|(|d|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Mais celui-ci est peu satisfaisant car chaque �tat
  <math|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>> repr�sente potentiellement un �tat d'un
  syst�me de transitions, pouvant d�boucher sur lui-m�me ou sur un autre
  �tat, et il faut savoir prendre en compte ces disjonctions � un niveau plus
  fin. Il faut donc plut�t voir le tout comme un syst�me de transitions.

  �tant donn� notre syst�me repr�sent� par une fonction de transition
  <math|f<rsup|#>> et une fonction de cycle <math|c<rsup|#>> (par facilit�,
  on notera <math|g<rsup|#>=c<rsup|#>\<circ\>f<rsup|#>>), l'ensemble des
  �tats accessible par le syst�me est <math|S<rsup|#>=lfp<rsub|I<rsup|#>><around*|(|\<lambda\>s.I<rsup|#>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|s|)>|)>>,
  o� <math|I<rsup|#>=<around*|\<llbracket\>|i|\<rrbracket\>><rsub|d><around*|(|\<top\><rsub|d>|)>>.

  D�finitions : pour <math|d<rsub|0>\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>>, notons
  <math|r<rsub|d<rsub|0>> : \<cal-D\><rsub|d><rsup|#>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsub|d><rsup|#>>
  tel que <math|r<rsub|d<rsub|0>><around*|(|s|)>=\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|\<bot\>>|<cell|si
  d\<neq\>d<rsub|0>>>|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si d=d<rsub|0>>>>>>>

  Le principe des it�rations chaotiques peut s'�crire comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|I<rsup|#>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|0><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|n>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Tant que <math|\<delta\><rsub|n>\<neq\>\<varnothing\>>, on r�p�te le
  processus suivant :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|n+1>>|<cell|\<in\>>|<cell|\<delta\><rsub|n>
    <text| (choisi arbitrairement)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|g<rsup|#><around*|(|r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>|)>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|s<rsub|n>\<sqcup\>D<rsub|n+1>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<delta\><rsub|n>\\<around*|{|a<rsub|n+1>|}>|)>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n><around*|(|d|)>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Intuitivement : <math|\<bbb-M\><rsub|d>> repr�sente l'ensemble des �tats
  possibles pour notre syst�me de transition. � chaque it�ration, on choisit
  un �tat qui a grossi depuis la derni�re fois. On calcule ses successeurs et
  on met � jour l'ensemble des �tats que l'on connait.

  Probl�me : ici on ne fait pas de widening, et on peut �tre � peu pr�s s�r
  que l'analyse ne terminera pas (sauf cas simples). Pour cela, on introduit
  un ensemble <math|K<rsub|\<nabla\>>\<subset\>\<bbb-M\><rsub|d>> qui
  repr�sente l'ensemble des �tats que l'on devra faire grossir par widening
  et non par union simple dans le futur. La d�finition devient alors :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|I<rsup|#>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|0><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|n>|}>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,0>>|<cell|=>|<cell|\<varnothing\>>>>>
  </eqnarray*>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|n+1>>|<cell|\<in\>>|<cell|\<delta\><rsub|n>
    <text| (choisi arbitrairement)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|g<rsup|#><around*|(|r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>|)>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>\<nabla\>D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|si
    d\<in\>K<rsub|\<nabla\>,n>>>|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>\<sqcup\>D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n+1>>|<cell|=>|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|n><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\>\<wedge\>s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n>|}>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<delta\><rsub|n>\\<around*|{|a<rsub|n+1>|}>|)>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n><around*|(|d|)>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Ie : si un �tat est apparu � une �tape, et si � une �tape ult�rieure il
  grossit, alors lors de toutes les �tapes suivantes on le fera grossir non
  pas par union simple mais par �largissement.

  Reste une question : comment prendre en compte les conditions de boucle qui
  permettent de r�duire le domaine abstrait ? La d�finition pr�c�dente n'est
  peut-�tre pas la bonne, car elle risque d'appliquer des �largissements que
  l'on ne sait plus ensuite comment r�tr�cir pour refaire appara�tre les
  bonnes conditions. Cherchons une autre forme d'it�ration, par exemple :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|I<rsup|#>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|0><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|n>|}>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,0>>|<cell|=>|<cell|\<varnothing\>>>>>
  </eqnarray*>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|n+1>>|<cell|\<in\>>|<cell|\<delta\><rsub|n>
    <text| (choisi arbitrairement)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>|)>><around*|(|\<lambda\>i.r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|i|)>|)>|)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|D<rsub|n+1><rsup|0>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>\<nabla\>D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|si
    d\<in\>K<rsub|\<nabla\>,n> et d\<neq\>a<rsub|n+1>>>|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>\<sqcup\>D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n+1>>|<cell|=>|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|n><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\>\<wedge\>s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n>|}>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<delta\><rsub|n>\\<around*|{|a<rsub|n+1>|}>|)>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n><around*|(|d|)>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  O� le point fixe <math|D<rsub|n+1><rsup|0>> est calcul� avec appel au
  widening au besoin, et en faisant une ou des it�rations d�croissantes � la
  fin. Intuitivement : on fait grossir un �tat au maximum, en cherchant son
  point fixe en boucle sur lui-m�me. Ensuite seulement on s'occupe de savoir
  ce qu'il peut propager aux autres �tats.

  <subsection|Domaine � arbre de disjonctions>

  D�finition du domaines abstraits avec graphes de d�cision : on va �crire
  ici une d�finition math�matique des op�rateurs que l'on a impl�ment�. On
  fait abstraction des probl�matiques de m�moisation et de partage des
  sous-graphes, qui font tout l'int�r�t de la technique d'un point de vue
  pratique mais qui peuvent �tre consid�r�s comme un traitement � part (ce
  n'est rien de plus que de la m�moisation et du partage).

  <paragraph|Variables et contraintes.>Il y a deux domaines de variables,
  <math|\<bbb-X\><rsub|e>> pour les �num�r�s et <math|\<bbb-X\><rsub|n>> pour
  les variables num�riques. Il y a deux domaines pour les contraintes,
  <math|\<bbb-E\><rsub|e>> les contraintes sur les �num�r�s (de la forme
  <math|x\<equiv\>y> ou <math|x\<equiv\>v,v\<in\>\<bbb-V\><rsub|e>>) et
  <math|\<bbb-E\><rsub|n>> les contraintes sur les variables num�riques
  (�galit�s ou in�galit�s).

  <paragraph|Domaine num�rique.>On note <math|D<rsub|n>> le domaine des
  valeurs num�riques et <math|\<sqcup\><rsub|n>>, <math|\<sqcap\><rsub|n>>,
  <math|<around*|\<llbracket\>|\<cdummy\>|\<rrbracket\>><rsub|n>>,
  <math|\<bot\><rsub|n>>, <math|\<top\><rsub|n>>,
  <math|\<sqsubseteq\><rsub|n>>, <math|\<matheuler\><rsub|n>>,
  <math|\<nabla\><rsub|n>> les �l�ments correspondants dans ce domaine. On
  consid�re que <math|\<gamma\><rsub|n> :
  D<rsub|n>\<rightarrow\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-X\><rsub|e>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|n>\<rightarrow\>\<bbb-V\>|)>>
  donne toutes les valuations possibles pour les variables de
  <math|\<bbb-X\><rsub|e>>.

  <paragraph|Les EDD.>On d�finit un ordre sur les variables de
  <math|\<bbb-X\><rsub|e>> : <math|\<bbb-X\><rsub|e>=<around*|{|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|}>>
  (bien choisi pour r�duire la taille du graphe).

  On d�finit ensuite une valeur du domaine disjonctif, ie un EDD, par un type
  somme comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s>|<cell|\<assign\>>|<cell|V<around*|(|t\<in\>D<rsub|num>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\|>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Si on voit �a comme un arbre, alors il faut que si un noeud
  <math|C<around*|(|x<rsub|i>,\<ldots\>|)>> est anc�tre d'un noeud
  <math|C<around*|(|x<rsub|j>,\<ldots\>|)>>, alors <math|i\<less\>j> (par
  rapport � l'ordre donn� sur <math|\<bbb-X\><rsub|e>>).\ 

  Pour faciliter les notations, on introduit le rang d'un noeud :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<delta\><around*|(|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|i>>|<row|<cell|\<delta\><around*|(|V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|\<infty\>>>>>
  </eqnarray*>

  La contrainte se traduit par, pour tout noeud
  <math|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>,
  on a <math|\<forall\>j,i\<less\>\<delta\><around*|(|s<rsub|j>|)>>.

  On d�finit aussi la contrainte suivante : on n'a pas le droit d'avoir de
  noeud <math|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>
  si <math|s<rsub|1>=s<rsub|2>=*\<cdots\>*=s<rsub|p>>. Cela implique
  l'unicit� de l'arbre qui repr�sente un environnement donn�.

  La concr�tisation est d�finie comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<gamma\><around*|(|V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|\<gamma\><rsub|n><around*|(|t|)>>>|<row|<cell|\<gamma\><around*|(|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<big|cup><rsub|j=1><rsup|p><around*|{|s\<in\>\<gamma\><around*|(|s<rsub|j>|)>
    \| s<around*|(|x<rsub|i>|)>=v<rsub|j>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Les �l�ments <math|\<top\>> et <math|\<bot\>> sont d�finis comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<top\>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|\<top\><rsub|n>|)>>>|<row|<cell|\<bot\>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|\<bot\><rsub|n>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Pour assurer l'unicit� lors des transformations, on d�finit la fonction de
  r�duction <math|r> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|r<around*|(|<around*|\<nobracket\>|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|\<nobracket\>>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|1>>|<cell|si
    s<rsub|1>=s<rsub|2>=*\<cdots\>*s<rsub|p>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>|<cell|sinon>>>>>>>>>
  </eqnarray*>

  L'op�ration <math|\<sqcap\>> est d�finie comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t|)>\<sqcap\>V<around*|(|t<rprime|'>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|t\<sqcap\><rsub|n>t<rprime|'>|)>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>\<sqcap\>C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1><rprime|'>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p><rprime|'>|)>>|<cell|=>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>\<sqcap\>s<rsub|1><rprime|'>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>\<sqcap\>s<rsub|p><rprime|'>|)>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>\<sqcap\>s<rprime|'>>|<cell|<above|=|<text|lorsque
    <math|i\<less\>\<delta\><around*|(|s<rprime|'>|)>>>>>|<cell|<stack|<tformat|<table|<row|<cell|r<around*|(|<around*|\<nobracket\>|x<rsub|i>,<stack|<tformat|<table|<row|<cell|v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>\<sqcap\>s<rprime|'>>>|<row|<cell|*\<vdots\>>>|<row|<cell|v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>\<sqcap\>s<rprime|'>>>>>>|)>|\<nobracket\>>>>>>>>>>>
  </eqnarray*>

  et symm�triquement lorsque <math|\<delta\><around*|(|s|)>\<gtr\>\<delta\><around*|(|s<rprime|'>|)>>
  (le noeud le plus haut est celui correspondant � la variable d'indice le
  plus faible, pour respecter l'ordre).

  L'op�ration <math|\<sqcup\>> est d�finie pareil.

  Si <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|n>>, on d�finit
  <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>>> par :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|n><around*|(|t|)>|)>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\><around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\><around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Pour les conditions sur les �num�r�s, on d�finit d'abord :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|c<around*|(|x\<equiv\>v|)>>|<cell|=>|<cell|C<around*|(|x,v\<rightarrow\>V<around*|(|\<top\>|)>,v<rprime|'>\<rightarrow\>V<around*|(|\<bot\>|)>,v<rprime|'>\<in\>\<bbb-V\><rsub|e>\\<around*|{|v|}>|)>>>|<row|<cell|c<around*|(|x\<nequiv\>v|)>>|<cell|=>|<cell|C<around*|(|x,v\<rightarrow\>V<around*|(|\<bot\>|)>,v<rprime|'>\<rightarrow\>V<around*|(|\<top\>|)>,v<rprime|'>\<in\>\<bbb-V\><rsub|e>\\<around*|{|v|}>|)>>>|<row|<cell|c<around*|(|x<rsub|i>\<equiv\>x<rsub|j>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    i\<less\>j>>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<equiv\>v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<equiv\>v<rsub|p>|)>|)>>>|<row|<cell|c<around*|(|x<rsub|i>\<nequiv\>x<rsub|j>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    i\<less\>j>>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<nequiv\>v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<nequiv\>v<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  et symm�triquement lorsque <math|j\<gtr\>i>.

  On peut ensuite poser :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|c<around*|(|e|)>\<sqcap\>s>>>>
  </eqnarray*>

  L'�galit� entre les valeurs repr�sent�es par deux EDD correspond �
  l'�galit� de ces deux EDD (c'est une CNS).

  L'inclusion est �galement d�finie par induction :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t|)>\<sqsubseteq\>V<around*|(|t<rprime|'>|)>>|<cell|\<equiv\>>|<cell|t\<sqsubseteq\><rsub|n>t<rprime|'>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>\<sqsubseteq\>C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1><rprime|'>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p><rprime|'>|)>>|<cell|\<equiv\>>|<cell|<big|wedge><rsub|i=1><rsup|p>s<rsub|i>\<sqsubseteq\>s<rsub|i><rprime|'>>>|<row|<cell|s\<sqsubseteq\>C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>|<cell|<above|\<equiv\>|lorsque
    \<delta\><around*|(|s|)>\<gtr\>i>>|<cell|<big|wedge><rsub|i=1><rsup|p>s\<sqsubseteq\>s<rsub|i>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>\<sqsubseteq\>s<rprime|'>>|<cell|<above|\<equiv\>|lorsque
    i\<less\>\<delta\><around*|(|s<rprime|'>|)>>>|<cell|<big|wedge><rsub|i=1><rsup|p>s<rsub|i>\<sqsubseteq\>s<rprime|'>>>>>
  </eqnarray*>

  <paragraph|Op�rateur de widening.>Sur nos EDD, on d�finit une op�ration
  <math|\<rho\>:D<rsub|n>\<times\>D\<rightarrow\>D> comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|\<top\>>|<cell|si
    t=t<rsub|0>>>|<row|<cell|\<bot\>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,s<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,s<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Explication : cette fonction extrait d'un EDD la fonction bool�enne qui
  m�ne vers exactement une certaine valeur abstraite des num�riques.

  On introduit maintenant un op�rateur de widening sur nos arbres :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a\<nabla\>b>|<cell|=>|<cell|f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,a,b|)>>>|<row|<cell|f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,V<around*|(|t|)>,V<around*|(|t<rprime|'>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t
    \<nabla\><rsub|n>t<rprime|'>|)>>|<cell|si
    \<rho\><around*|(|t,a|)>=\<rho\><around*|(|t<rprime|'>,b|)>>>|<row|<cell|V<around*|(|t\<sqcup\><rsub|n>t<rprime|'>|)>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,s,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    i\<less\>\<delta\><around*|(|s|)>>>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,<stack|<tformat|<table|<row|<cell|v<rsub|1>\<rightarrow\>f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|1>|)>>>|<row|<cell|*\<vdots\>>>|<row|<cell|v<rsub|p>\<rightarrow\>f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|p>|)>>>>>>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Les autres cas sont d�finis exactement pareil (cf d�finition de
  <math|\<sqcup\>>, plus on passe <math|a> et <math|b> � notre fonction
  <math|f<rsub|\<nabla\>>>). Explication : lorsque l'on doit faire l'union de
  deux feuilles, on fait un widening si et seulement si les deux feuilles
  sont accessibles selont exactement la m�me formule bool�enne sur les
  �num�r�s dans <math|a> et <math|b>.

  <paragraph|It�rations chaotiques.>On enrichit un peu notre arbre au niveau
  des feuilles pour enregistrer quelques informations suppl�mentaires :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s>|<cell|\<assign\>>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i>>>|<row|<cell|>|<cell|\|>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>>>|<row|<cell|>|<cell|\|>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  L'�toile correspondra � : ``cette feuille est nouvelle, il faut l'analyse
  comme nouveau cas'', et l'indice <math|i\<in\>\<bbb-N\>> correspond � :
  ``cette feuille est l� depuis <math|n> it�rations'', o� le <math|n> permet
  d'impl�menter un d�lai de widening.

  On d�finit maintenant une fonction d'accumulation <math|\<diamond\>> comme
  suit (<math|\<tau\>> correspond � un delai de widening) :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a \<diamond\>
    b>|<cell|=>|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,a,b|)>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,V<around*|(|\<bot\><rsub|n>|)><rsub|>,V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    t\<neq\>\<bot\><rsub|n>>>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|0>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<nu\>>,V<around*|(|\<bot\><rsub|n>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<nu\>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<nu\>>,V<around*|(|t<rprime|'>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t
    \<nabla\><rsub|n>t<rprime|'>|)><rsub|i+1><rsup|\<nu\>>>|<cell|si
    \<rho\><around*|(|t,a|)>=\<rho\><around*|(|t<rprime|'>,b|)>\<wedge\>
    i\<geqslant\><rsub|>\<tau\>>>|<row|<cell|V<around*|(|t\<sqcup\><rsub|n>t<rprime|'>|)><rsub|i+1><rsup|\<nu\>>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,s,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    \<delta\><around*|(|s|)>\<gtr\>i>>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,<stack|<tformat|<table|<row|<cell|v<rsub|1>\<rightarrow\>f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|1>|)>>>|<row|<cell|*\<vdots\>>>|<row|<cell|v<rsub|p>\<rightarrow\>f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|p>|)>>>>>>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  (o� <math|\<nu\>> correspond � soit une �toile soit pas d'�toile)

  (les autres cas se font par appel r�cursif encore une fois comme dans le
  cas de l'union)

  Puis une fonction de d�tection des cas nouveaux par rapport � une valeur
  pr�c�dente :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<oast\><rsub|s<rsub|0>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,s|)>>>|<row|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,V<around*|(|t|)><rsub|i>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>>|<cell|si
    <around*|(|\<rho\><around*|(|t,s|)>\<sqcap\>s|)>\<nsqsubseteq\>s<rsub|0>>>|<row|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,s<rsub|1>|)><rsub|>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,s<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  On commence avec :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|\<oast\><rsub|\<bot\>>
    I<rsup|#>>>>>
  </eqnarray*>

  (appliquer <math|\<oast\>> de la sorte permet de faire que toutes les
  feuilles soient �toil�es)

  Puis pour les<math|> it�rations, deux cas :

  <\itemize>
    <item>Si il existe <math|V<around*|(|t<rsub|0>|)><rsup|\<ast\>><rsub|i>>
    une feuille �toil�e dans <math|s<rsub|n>> : on marque
    <math|s<rsub|n><rprime|'>> l'arbre <math|s<rsub|n>> o� toutes les
    feuilles <math|V<around*|(|t<rsub|0>|)>> sont d�-�toil�es, puis :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|c<rsub|n>>|<cell|=>|<cell|\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,s<rsub|n>|)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|c<rsub|n>\<sqcap\>s<rsub|n>><around*|(|\<lambda\>i.c<rsub|n>\<sqcap\><around*|(|s<rsub|n>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|i|)>|)>|)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|D<rsub|n+1><rsup|0>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<oast\><rsub|s<rsub|n><rprime|'>><around*|(|s<rsub|n><rprime|'>
      \<diamond\> D<rsub|n+1>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    (o� le point fixe <math|D<rsub|n+1><rsup|0>> est fait en faisant appel �
    <math|\<sqcup\>> et <math|\<nabla\>> d�finis pr�c�demment, avec un d�lai
    de widening convenable)

    Dans tous les cas, on refait une it�ration. Les �toiles finiront bien par
    disparaitre.

    <item>Si il n'existe pas de telle feuille �toil�e dans <math|s<rsub|n>> :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<oast\><rsub|s<rsub|n>><around*|(|s<rsub|n>
      \<diamond\> g<rsup|#><around*|(|s<rsub|n>|)>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    Dans ce cas, on s'arr�te si <math|s<rsub|n+1>=s<rsub|n>>.
  </itemize>
</body>

<\initial>
  <\collection>
    <associate|language|french>
  </collection>
</initial>

<\references>
  <\collection>
    <associate|auto-1|<tuple|1|1>>
    <associate|auto-10|<tuple|2.3.5|4>>
    <associate|auto-11|<tuple|2.3.6|4>>
    <associate|auto-12|<tuple|2.3.7|4>>
    <associate|auto-13|<tuple|2.4|6>>
    <associate|auto-14|<tuple|2.4.1|6>>
    <associate|auto-15|<tuple|2.4.2|7>>
    <associate|auto-16|<tuple|3|8>>
    <associate|auto-17|<tuple|4|8>>
    <associate|auto-18|<tuple|4.1|8>>
    <associate|auto-19|<tuple|4.1.1|8>>
    <associate|auto-2|<tuple|2|1>>
    <associate|auto-20|<tuple|4.1.2|9>>
    <associate|auto-21|<tuple|4.2|10>>
    <associate|auto-22|<tuple|5|11>>
    <associate|auto-23|<tuple|5.1|11>>
    <associate|auto-24|<tuple|5.2|13>>
    <associate|auto-25|<tuple|5.2.0.1|13>>
    <associate|auto-26|<tuple|5.2.0.2|13>>
    <associate|auto-27|<tuple|5.2.0.3|13>>
    <associate|auto-28|<tuple|5.2.0.4|15>>
    <associate|auto-29|<tuple|5.2.0.5|15>>
    <associate|auto-3|<tuple|2.1|1>>
    <associate|auto-4|<tuple|2.2|2>>
    <associate|auto-5|<tuple|2.3|2>>
    <associate|auto-6|<tuple|2.3.1|3>>
    <associate|auto-7|<tuple|2.3.2|3>>
    <associate|auto-8|<tuple|2.3.3|3>>
    <associate|auto-9|<tuple|2.3.4|3>>
  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|toc>
      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|1<space|2spc>Introduction>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|2<space|2spc>Sp�cification>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-2><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.1<space|2spc>Grammaire
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-3>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.2<space|2spc>S�mantique concr�te
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-4>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.3<space|2spc>S�mantique par r�duction
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-5>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.1<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      l'activation du scope racine <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-6>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.2<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      l'init dans tous les scopes <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-7>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.3<space|2spc>R�gles de r�duction
      d'expressions <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-8>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.4<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les pre <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-9>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.5<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les affectations <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-10>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.6<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les blocs activate <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-11>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.7<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les automates <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-12>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.4<space|2spc>S�mantique par traduction,
      r�gles de traduction <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-13>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.4.1<space|2spc>Traduction des expressions
      num�riques et bool�ennes <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-14>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.4.2<space|2spc>Traduction de scopes et de
      programmes <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-15>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|3<space|2spc>Interpr�te
      pour s�mantique concr�te> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-16><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|4<space|2spc>Interpr�tation
      abstraite> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-17><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|4.1<space|2spc>S�mantique collectrice
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-18>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|4.1.1<space|2spc>Nouvelle notation :
      fonction de transition <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-19>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|4.1.2<space|2spc>Suppression des entr�es,
      s�mantique collectrice <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-20>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|4.2<space|2spc>G�n�ralit�s sur
      l'interpr�tation abstraite <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-21>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|5<space|2spc>Domaines
      abstraits et disjonction de cas> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-22><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|5.1<space|2spc>Domaine � disjonction
      simple <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-23>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|5.2<space|2spc>Domaine � arbre de
      disjonctions <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-24>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Variables et contraintes.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-25><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Domaine num�rique.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-26><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Les EDD.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-27><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Op�rateur de widening.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-28><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|It�rations chaotiques.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-29><vspace|0.15fn>>
    </associate>
  </collection>
</auxiliary>