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<TeXmacs|1.0.7.18>

<style|article>

<\body>
  <doc-data|<doc-title|scade-analyzer>|<doc-subtitle|note de r�f�rence>>

  <section|Introduction>

  Le projet consiste en la r�alisation d'un analyseur statique pour des
  programmes SCADE, utilisant l'interpr�tation abstraite comme base de
  travail. Les objectifs vis�s sont :

  <\itemize>
    <item>Preuve de propri�t�s de s�ret� sur des programmes

    <item>�tude d'intervalles de variation pour des variables
  </itemize>

  Nos travaux se placent dans la continuit� de <cite|blanchetEtAl-PLDI03>,
  <cite|cousotCousot79-1>, <cite|halbwachs94c>, <cite|lesartse>,
  <cite|jhrsas99>.

  L'exp�rience a �t� men�e sur un sous-ensemble tr�s restreint du langage
  SCADE, comportant notamment :

  <\itemize>
    <item>noyau dataflow (op�rations arithm�tiques �l�mentaires, op�rateurs
    <verbatim|-\<gtr\>> et <verbatim|pre>), pas de prise en charge des
    horloges explicites (primitives <verbatim|when>, <verbatim|merge>, ...)

    <item>blocs <verbatim|activate>

    <item>automates simples, � transitions faibles seulement, sans actions
    sur les transitions (les transitions de type <verbatim|restart> sont
    prises en compte)
  </itemize>

  \;

  Dans ce document nous mettrons au clair les points suivants :

  <\enumerate>
    <item>Sp�cification du sous-ensemble de SCADE consid�r�

    <item>Explication du fonctionnement de l'interpr�te pour la s�mantique
    concr�te

    <item>Explication de la traduction d'un programme SCADE en une formule
    logique repr�sentant le cycle du programme

    <item>Explications sur l'interpr�tation abstraite en g�n�ral, sur les
    domaines num�riques, sur la recherche de points fixe

    <item>Explications sur notre adaptation de ces principes � l'analyse du
    langage SCADE, en particulier :

    <\itemize>
      <item>it�rations chaotiques

      <item>domaines capables de faire des disjonctions de cas (graphes de
      d�cision)
    </itemize>
  </enumerate>

  Par la suite, nous ne consid�rons que des programmes SCADE bien typ�s.

  \;

  <section|Sp�cification>

  <subsection|Grammaire>

  <\verbatim-code>
    <\verbatim>
      decl \ \ \ := CONST id: type = expr;

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| NODE (var_def;*) RETURNS (var_def;*) VAR var_def;*
      body

      var_def := (PROBE? id),* : type

      body \ \ \ := LET eqn;* TEL

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| eqn;

      type \ \ \ := INT \| BOOL \| REAL \| (TYPE,+)

      eqn \ \ \ \ := id = expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| GUARANTEE id : expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| ASSUME id : expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| AUTOMATON state* RETURNS id,*

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| ACTIVATE scope_if RETURNS id,*

      scope_if := (VAR var_def;*)? body

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| IF expr THEN scope_if ELSE scope_if

      state \ \ \ := INITIAL? STATE id

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ body

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ until*

      until \ \ \ := UNTIL IF expr (RESUME\|RESTART) id

      expr \ \ \ \ := int_const \| real_const \| TRUE \| FALSE \| id

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| unary_op expr \| expr bin_op expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| IF expr THEN expr ELSE expr

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| id ( expr,* )

      unary_op := - \| PRE \| NOT

      bin_op \ \ := + \| - \| * \| / \| -\<gtr\> \| AND \| OR \| MOD
    </verbatim>

    \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \| = \| \<less\>\<gtr\> \| \<less\> \| \<gtr\> \|
    \<less\>= \| \<gtr\>=
  </verbatim-code>

  <subsection|S�mantique concr�te>

  Pour simplifier, on consid�re dans cette section que tous les noeuds ont
  �t� inlin�s.

  On note <math|\<bbb-X\>> l'ensemble des variables d�finies dans le texte du
  programme, et on note <math|\<bbb-V\>> l'ensemble des valeurs qui peuvent
  �tre prises.

  Un environnement de valeurs est une fonction
  <math|s:\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>> qui d�crit un �tat de la m�moire
  du programme. On d�finit aussi un sous-ensemble
  <math|\<bbb-V\><rsub|i>\<subset\>\<bbb-V\>> de variables dont les valeurs
  sont des entr�es du syst�me.

  L'ex�cution d'un programme est une s�quence d'�tats m�moire
  <math|s<rsub|0>\<nocomma\>,s<rsub|1>,\<ldots\>,s<rsub|n>,\<ldots\>>
  conforme � la sp�cification du programme et � une s�rie d'entr�es. On note
  :

  <\equation*>
    s<rsub|0><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|1>>s<rsub|1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|2>>s<rsub|2>\<rightarrow\>\<cdots\>
  </equation*>

  Dans la s�mantique par traduction, la s�mantique d'un programme est d�finie
  par traduction du programme <math|P> en une formule logique <math|F> telle
  que :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n-1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|n>>s<rsub|n>>|<cell|\<Leftrightarrow\>>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-V\><rsub|i>,s<rsub|n><around*|(|x|)>=i<rsub|n><around*|(|x|)>>>|<row|<cell|F<around*|(|s<rsub|n-1>,s<rsub|n>|)>>>>>>>>>>
  </eqnarray*>

  Dans la s�mantique par r�duction, la s�mantique d'un programme est d�finie
  par un ensemble de r�gles de r�duction qui aboutissent �

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n-1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|n>>s<rsub|n>>|<cell|\<Leftrightarrow\>>|<cell|<frac|s<rsub|n-1>\<Rightarrow\>i<rsub|n>|s<rsub|n-1>\<Rightarrow\>s<rsub|n>>>>>>
  </eqnarray*>

  Pour un programme bien typ�, �tant donn� <math|s<rsub|n-1>> et
  <math|i<rsub|n>>, il existe un unique �tat <math|s<rsub|n>> qui remplit la
  condition.

  Un scope <math|\<Sigma\>> correspond � un ensemble de d�finitions (de
  variables, d'automates, ou de blocs activate), identifi�s par un chemin.
  Chaque scope dispose d'une horloge propre. Pour traduire l'init et le
  reset, on introduit dans chaque scope <math|\<Sigma\>> plusieurs variables
  :

  <\itemize>
    <item><math|nreset<rsub|\<Sigma\>>> : indique que le scope devra �tre
    reset lors du prochain cycle

    <item><math|init<rsub|\<Sigma\>>> : indique que le scope est � l'�tat
    initial dans ce cycle

    <item><math|act<rsub|\<Sigma\>>> : indique qu'un scope est actif dans ce
    cycle
  </itemize>

  Un nouveau scope est introduit dans chaque body d'un bloc activate ou d'un
  �tat d'automate.

  De m�me, les automates introduisent deux variables :\ 

  <\itemize>
    <item><math|state<rsub|A>>, qui d�finit l'�tat de l'automate � ce cycle

    <item><math|nstate<rsub|A>>, qui d�finit l'�tat de l'automate au cycle
    suivant, en supposant qu'il n'y a pas de reset du scope o� l'automate est
    d�fini
  </itemize>

  L'�tat <math|s<rsub|0>> est d�fini par <math|s<rsub|0><around*|(|reset<rsub|/>|)>=tt>,
  o� <math|/> est le scope racine englobant tout le programme ; toutes les
  autres variables de <math|\<bbb-V\>> pouvant prendre n'importe quelle
  valeur.

  On suppose que chaque instance de <verbatim|pre> est num�rot�e. Pour chaque
  <math|pre<rsub|i> e>, on introduit la variable <math|m<rsub|i>> qui
  enregistre la valeur de <math|e> dans le cycle courant et qui sert de
  m�moire pour le pre lors du cycle suivant.

  Par la suite, que ce soit dans l'�tude de la s�mantique par r�duction ou
  par traduction, on notera toujours <math|l> la m�moire (c'est-�-dire
  <math|s<rsub|n-1>>) et <math|s> l'�tat courant (c'est-�-dire
  <math|s<rsub|n>>, sur lequel on travaille).

  <subsection|S�mantique par r�duction>

  On d�finit notre ensemble d'environnements comme �tant
  <math|\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>\<cup\><around*|{|\<epsilon\>|}>>, la
  valeur <math|\<epsilon\>> signifiant qu'une variable n'a pas encore pris sa
  valeur.

  Pour chaque �l�ment de programme, on va introduire un certain nombre de
  r�gles de r�duction. On applique ces r�gles jusqu'� en d�duire
  <math|l\<Rightarrow\>s>, avec <math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\>,s<around*|(|x|)>\<neq\>\<epsilon\>>.

  Les d�ductions de la forme <math|l\<Rightarrow\>s> signifient \S avec la
  m�moire <math|l>, on peut d�duire du syst�me l'�tat (partiel) <math|s> \T.
  Les d�ductions de la forme <math|l,s\<vDash\>e\<rightarrow\><rsub|\<Sigma\>><rsup|v>v>
  signifient \S avec la m�moire <math|l> et l'�tat partiellement calcul�
  <math|s>, l'expression <math|e> calcul�e dans le scope <math|\<Sigma\>>
  prend la valeur <math|v> \T (la fl�che <math|\<rightarrow\><rsub|\<Sigma\>><rsup|v>>
  correspond � une r�duction par valeur dans le scope <math|\<Sigma\>>).

  On notera <math|\<Sigma\>\<Vdash\>x=e> pour signifier \S dans le scope
  <math|\<Sigma\>> on a la d�finition <math|x=e> \T, de m�me pour les
  d�finitions de blocs activate et d'automates. On notera
  <math|\<Sigma\>\<Vdash\>pre<rsub|i> e> pour signifier que <math|pre<rsub|i>
  e> appara�t dans le scope <math|\<Sigma\>>.

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour l'activation du scope racine>

  On note <math|i> les entr�es du syst�me � ce cycle ; on fait par d�finition
  l'hypoth�se <math|l\<Rightarrow\>i>, c'est-�-dire qu'on peut obtenir
  l'environnement o� seules les variables d'entr�e sont d�finies. On
  introduit ensuite la r�gle suivante, qui dit que le scope racine est
  toujours actif et jamais reset par la suite :

  <\equation*>
    <frac|l\<Rightarrow\>s|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/>\<assign\>tt|]><around*|[|nreset<rsub|/>\<assign\>ff|]>>
  </equation*>

  \;

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour l'init dans tous les scopes>

  Pour tout scope <math|\<Sigma\>> d�fini dans le programme, qui est reset si
  et seulement si la condition <math|l,s\<vDash\>r> est vraie, on rajoute les
  r�gles de r�duction suivantes qui permettent de d�terminer si le scope est
  init ou pas :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>r<rsub|\<Sigma\>>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|\<Sigma\>>\<assign\>tt|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><rsup|>\<neg\>r<rsub|\<Sigma\>>>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|\<Sigma\>>\<assign\>ff|]>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><rsup|>\<neg\>r<rsub|\<Sigma\>>>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|\<Sigma\>>\<assign\>l<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>|]>>
  </equation*>

  \;

  En particulier, pour le scope racine on instancie ces r�gles avec
  <math|<around*|(|l,s\<vDash\>r<rsub|/>|)>\<Leftrightarrow\>l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=tt>

  <subsubsection|R�gles de r�duction d'expressions>

  Ces r�gles permettent d'exprimer le calcul d'une expression. On note
  <math|\<Sigma\>> le scope dans lequel l'expression est �valu�e. On note
  <math|\<odot\>> n'importe quel op�rateur binaire :
  <math|+,-,\<times\>,/,mod,\<less\>,\<gtr\>,\<leqslant\>,\<geqslant\>,=,\<neq\>,\<wedge\>,\<vee\>>.

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac||l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>c>,c\<in\>\<bbb-V\>>|<cell|>|<cell|<frac|s<around*|(|x|)>\<neq\>\<epsilon\>|l,s\<vDash\>x\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>s<around*|(|x|)>>,x\<in\>\<bbb-X\>>>>>
  </eqnarray*>

  <\equation*>
    <frac||l,s\<vDash\>pre<rsub|i> e\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>l<around*|(|m<rsub|i>|)>>
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|1>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|2>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|2>>>>>>|l,s\<vDash\>e<rsub|1>\<odot\>e<rsub|2>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>\<odot\>v<rsub|2>>
  </equation*>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|1>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>>>>>>|l,s\<vDash\><around*|(|e<rsub|1>\<rightarrow\>e<rsub|2>|)>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|1>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>=ff>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e<rsub|2>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|2>>>>>>|l,s\<vDash\><around*|(|e<rsub|1>\<rightarrow\>e<rsub|2>|)>\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v<rsub|2>>>>>>
  </eqnarray*>

  <\equation*>
    etc\<ldots\>
  </equation*>

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les pre>

  Pour chaque expression <math|pre<rsub|i> e> introduite dans le scope
  <math|\<Sigma\>>, on donne les deux r�gles suivante :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|i>\<assign\>v|]>>,\<Sigma\>\<Vdash\>pre<rsub|i>
    e
  </equation*>

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|i>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|i>|)>|]>>,\<Sigma\>\<Vdash\>pre<rsub|i>
    e
  </equation*>

  <\equation*>
    \;
  </equation*>

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les d�finitions de variables>

  Pour toute d�finition <math|x=e> apparaissant dans le scope
  <math|\<Sigma\>>, on donne la r�gle suivante :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>e\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|x\<assign\>v|]>>,\<Sigma\>\<Vdash\>x=e
  </equation*>

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les blocs activate>

  Pour tout bloc <math|activate if c then b<rsub|1> else b<rsub|2>>
  apparaissant dans le scope <math|\<Sigma\>>, on cr�e deux nouveaux scopes
  <math|\<Sigma\><rsub|1>> et <math|\<Sigma\><rsub|2>> dans lesquels on
  rajoute les r�gles de r�ductions pour <math|b<rsub|1>> et <math|b<rsub|2>>
  respectivement, et on rajoute les r�gles suivantes qui r�gissent
  l'activation des deux scopes <math|\<Sigma\><rsub|1>> et
  <math|\<Sigma\><rsub|2>> :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|1>>\<assign\>ff|]><around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|2>>\<assign\>ff|]>>
  </equation*>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|1>>\<assign\>tt|]><around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|2>>\<assign\>ff|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|\<Sigma\>>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsup|v><rsub|\<Sigma\>>ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|1>>\<assign\>ff|]><around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|2>>\<assign\>tt|]>>>>>>
  </eqnarray*>

  (implicitement sur toutes les r�gles : <math|\<Sigma\>\<Vdash\>activate if
  c then b<rsub|1> else b<rsub|2>>)

  Les deux scopes <math|\<Sigma\><rsub|1>> et <math|\<Sigma\><rsub|2>>
  h�ritent de la condition de reset du scope <math|\<Sigma\>>.

  <subsubsection|R�gles de r�duction pour les automates>

  On se place dans le cadre <math|\<Sigma\>\<Vdash\>A>. On note
  <math|s<rsub|0>> l'�tat initial de <math|A>. Les r�gles d'activation des
  diff�rents scopes des �tats se font en fonction de la variable
  <math|state<rsub|A>> d�finie pour l'automate <math|A> comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>r<rsub|\<Sigma\>>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|state<rsub|A>=s<rsub|0>|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>\<neg\>r<rsub|\<Sigma\>>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|state<rsub|A>=l<around*|(|nstate<rsub|A>|)>|]>>>>>>
  </eqnarray*>

  Puis pour chaque �tat <math|s<rsub|i>>, on d�finit <math|\<Sigma\><rsub|i>>
  son scope dans lequel on traduit son corps, puis on rajoute la r�gle
  d'activation suivante :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|state<rsub|A>|)>=s<rsub|i>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>=tt|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|state<rsub|A>|)>\<neq\>s<rsub|i>>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>=ff|]>>>>>>
  </eqnarray*>

  Dans tous les scopes <math|\<Sigma\><rsub|i>>, la condition de reset peut
  �tre �ventuellement augment�e d'un <math|\<vee\>> avec une condition du
  type <math|l<around*|(|nreset<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>|)>=t>, o� la variable
  <math|nreset<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>> est mise � <em|true> d�s que l'on
  emprunte une transition qui reset, et � <em|false> le reste du temps.

  La r�gle pour une transition <math|s<rsub|i><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|c>s<rsub|j>>
  sont du style :

  <\equation*>
    <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|state<rsub|A>|)>=s<rsub|i>>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>c\<rightarrow\><rsub|\<Sigma\>><rsup|v>tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|nstate<rsub|A>\<assign\>s<rsub|j>|]>>
  </equation*>

  � cela, il faut rajouter les conditions qui disent que l'on emprunte
  exactement une transition � chaque cycle, ainsi que la partie qui d�finit
  les variables <math|nreset<rsub|\<Sigma\><rsub|i>>>.

  <\example>
    On va �crire les r�gles de r�duction qui d�finissent le programme suivant
    :

    <\verbatim-code>
      node half() returns(c: int)

      var half: bool;

      \ \ \ \ a, b: int;

      \ \ \ \ la, lb: int;

      let

      \ \ half = true -\<gtr\> not pre half;

      \ \ activate

      \ \ \ \ if half then let

      \ \ \ \ \ \ \ \ a = la + 1;

      \ \ \ \ \ \ \ \ b = lb;

      \ \ \ \ tel else let

      \ \ \ \ \ \ \ \ a = la;

      \ \ \ \ \ \ \ \ b = lb + 1;

      \ \ \ \ tel

      \ \ returns a, b;

      \ \ la = 0 -\<gtr\> pre a;

      \ \ lb = 0 -\<gtr\> pre b;

      \ \ c = a - b;

      tel
    </verbatim-code>

    Les r�gles de calcul des expressions sont tout le temps les m�mes. Les
    r�gles d�duites de la structure du programme sont les suivantes :

    Initialisation :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|l\<Rightarrow\>s|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/>\<assign\>tt|]><around*|[|nreset<rsub|/>\<assign\>ff|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s
      >|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|/>\<assign\>tt|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s
      >|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=ff>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|/>\<assign\>ff|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s
      >|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=ff>|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|/>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|init<rsub|/>\<assign\>l<around*|(|init<rsub|/>|)>|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    D�finition <verbatim|c = a - b> (la r�duction par valeur de <math|a-b> en
    une valeur <math|v> se fait selon les r�gles donn�es ci-dessus) :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>a-b\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|c\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    D�finitions de <verbatim|la<math|>> et <verbatim|lb> :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><around*|(|0\<rightarrow\>pre<rsub|1>|)>
      a\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|la\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><around*|(|0\<rightarrow\>pre<rsub|2>
      b|)>\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|lb\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    D�finition de <verbatim|half> :

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\><around*|(|true\<rightarrow\>not
      pre<rsub|3> half|)>\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|half\<assign\>v|]>>
    </equation*>

    M�morisation des valeurs pour <verbatim|pre a>, <verbatim|pre b> et
    <verbatim|pre half> (on �crit aussi les r�gles pour le cas o� le scope
    est inactif � titre d'exemple simplement ; en pratique celles-ci sont
    �limin�es puisque le scope racine est toujours actif) :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>a\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|1>\<assign\>v|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|1>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|1>|)>|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>b\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|2>\<assign\>v|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|2>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|2>|)>|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>half\<rightarrow\><rsub|/><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|3>\<assign\>v|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|m<rsub|3>\<assign\>l<around*|(|m<rsub|3>|)>|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    Activation des deux moiti�s du activate :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>half\<rightarrow\>tt>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/1>:=tt|]><around*|[|act<rsub|/2>\<assign\>ff|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>half\<rightarrow\>ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/1>:=ff|]><around*|[|act<rsub|/2>\<assign\>tt|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    <\equation*>
      <frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>=ff>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|act<rsub|/1>:=ff|]><around*|[|act<rsub|/2>\<assign\>ff|]>>
    </equation*>

    D�finition de <verbatim|a> et <verbatim|b> dans la premi�re moiti� :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/1>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>la+1\<rightarrow\><rsub|/1><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|a\<assign\>v|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/1>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>lb\<rightarrow\><rsub|/1><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|b\<assign\>v|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    Et dans la deuxi�me moiti� :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/2>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>la\<rightarrow\><rsub|/2><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|a\<assign\>v|]>>>|<cell|>|<cell|<frac|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|l\<Rightarrow\>s>|<cell|>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/2>|)>=tt>|<cell|>|<cell|l,s\<vDash\>lb+1\<rightarrow\><rsub|/2><rsup|v>v>>>>>|l\<Rightarrow\>s<around*|[|b\<assign\>v|]>>>>>>
    </eqnarray*>

    Et c'est tout.
  </example>

  (il faudrait faire un exemple avec des automates, mais �a risque d'�tre
  encore plus long !)

  <subsection|S�mantique par traduction, r�gles de traduction>

  On d�finit la traduction de <math|P> en une formule
  <math|F<around*|(|l,s|)>> comme suit.

  <subsubsection|Traduction des expressions num�riques et bool�ennes>

  On utilise des formules ``� trous'' pour faire la traduction. Un trou
  <math|\<box\>> correspond � la fonction <math|e\<mapsto\>e>, une formule
  <math|a\<wedge\>x=\<box\>> correspond � la fonction
  <math|e\<mapsto\>a\<wedge\>x=e>, etc. L'argument d'une formule � trou peut
  aussi �tre un couple d'expressions, ainsi
  <math|\<box\><rsub|1>+\<box\><rsub|2>> correspond � la fonction
  <math|<around*|(|e,f|)>\<mapsto\>e+f>.

  On d�finit la fonction <math|T<around*|(|\<Sigma\>,e,w|)>> comme �tant la
  traduction de l'expression <math|e> consid�r�e dans le scope
  <math|\<Sigma\>> et devant �tre plac�e dans le trou <math|w>. En pratique,
  on divise <math|T> en deux fonctions, une pour les expressions bool�ennes
  et une pour les expressions num�riques. Le r�sultat d'une traduction doit
  �tre une formule bool�enne.

  Les r�gles sont les suivantes :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|e<rsub|1>,e<rsub|2>,\<ldots\>,e<rsub|n>|)>,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>,\<lambda\>f<rsub|1>.T<around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|e<rsub|2>,\<ldots\>,e<rsub|n>|)>,w<around*|[|f<rsub|1>,\<box\><rsub|1>,\<ldots\>,\<box\><rsub|n-1>|]>|)>|)>>>|<row|<cell|\<forall\>c\<in\>\<bbb-V\>,<text|
    \ \ \ \ \ \ \ >T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,c,w|)>>|<cell|=>|<cell|w<around*|[|c|]>>>|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\>,<text|
    \ \ \ \ \ \ >T<around*|(|\<Sigma\>,x,w|)>>|<cell|=>|<cell|w<around*|[|s<around*|(|x|)>|]>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,pre<rsub|i>
    e,w|)>>|<cell|=>|<cell|w<around*|[|l<around*|(|m<rsub|i>|)>|]>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>\<rightarrow\>e<rsub|2>,w|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>,w|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|2>,w|)>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>\<odot\>e<rsub|2>,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|e<rsub|1>,e<rsub|2>|)>,w<around*|[|\<box\><rsub|1>\<odot\>\<box\><rsub|2>|]>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,if
    c then e<rsub|1> else e<rsub|2>,w|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|T<around*|(|\<Sigma\>,c,\<box\>|)>\<wedge\>T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|1>,w|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>T<around*|(|\<Sigma\>,c,\<box\>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,e<rsub|2>,w|)>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,-e,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e,w<around*|[|-\<box\>|]>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,\<neg\>e,w|)>>|<cell|=>|<cell|T<rsub|><around*|(|\<Sigma\>,e,w<around*|[|\<neg\>\<box\>|]>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Par la suite, on d�finira la fonction de traduction d'une d�finition par :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|T<rsub|def><around*|(|\<Sigma\>,x=e|)>>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Dans le cas d'une multi-affectation <math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>=e>,
  on utilisera la traduction suivante :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|T<rsub|def><around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>=e|)>|)>>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,e,s<around*|(|x<rsub|1>|)>=\<box\><rsub|1>\<wedge\>*\<cdots\>*\<wedge\>s<around*|(|x<rsub|n>|)>=\<box\><rsub|n>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Dans le cas o� l'on doit traduire une instanciation de noeud
  <math|n<rsub|i><around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|m>|)>> (c'est le cas
  dans notre impl�mentation puisqu'on ne fait pas d'inlining), on nomme
  <math|r<rsub|1>,\<ldots\>,r<rsub|n>> les valeurs renvoy�es par le noeud et
  on utilise la r�gle <math|T<around*|(|\<Sigma\>,n<rsub|i><around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|m>|)>,w|)>=w<around*|[|s<around*|(|r<rsub|1>|)>,\<ldots\>,s<around*|(|r<rsub|n>|)>|]>>.
  Il faut par ailleurs g�n�rer la traduction des d�finitions donn�es dans le
  noeud et s'occuper de passer les arguments (nomm�s
  <math|arg<rsub|1>,\<ldots\>,arg<rsub|m>>), en introduisant des �quations du
  type <math|T<around*|(|\<Sigma\>,v<rsub|i>,s<around*|(|arg<rsub|i>|)>=\<box\>|)>>.

  <\example>
    Effectuons par exemple la traduction de <math|x=if y\<geqslant\>0 then y
    else -y> :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|F>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,if
      y\<geqslant\>0 then y else -y,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|T<around*|(|\<Sigma\>,y\<geqslant\>0,\<box\>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,y,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>T<around*|(|\<Sigma\>,y\<geqslant\>0,\<box\>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,-y,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|y|)>\<geqslant\>0\<wedge\>s<around*|(|x|)>=s<around*|(|y|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\><around*|(|s<around*|(|y|)>\<geqslant\>0|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=-s<around*|(|y|)>|)>>>>>
    </eqnarray*>
  </example>

  <\example>
    Effectuons la traduction de <math|x=0\<rightarrow\>pre<rsub|1> x + 1>.

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|F>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<Sigma\>,0\<rightarrow\>pre<rsub|1>x
      + 1,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,0,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,pre<rsub|1>x
      + 1,s<around*|(|x|)>=\<box\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,<around*|(|pre<rsub|1>x,1|)>,s<around*|(|x|)>=\<box\><rsub|1>+\<box\><rsub|2>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>T<around*|(|\<Sigma\>,1,<around*|\<nobracket\>|s<around*|(|x|)>=l<around*|(|m<rsub|1>|)>+\<box\>|)>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|\<Sigma\>>|)>\<wedge\>s<around*|(|x|)>=l<around*|(|m<rsub|1>|)>+1|)>>>>>
    </eqnarray*>

    Remarque : dans une �tape � part, il faut penser � m�moriser une valeur
    pour <math|m<rsub|1>>, c'est-�-dire � introduire l'�quation
    <math|s<around*|(|m<rsub|1>|)>=s<around*|(|x|)>>.
  </example>

  <subsubsection|Traduction de scopes et de programmes>

  On d�finit une traduction compl�te pour les programmes, en pensant �
  introduire les �quations de persistance de la m�moire pour les pre. On
  introduit aussi des �quations qui d�terminent si un scope est actif ou
  inactif, si il est init ou pas, si il doit �tre reset ou pas, en fonction
  des divers param�tres du programme (�tats d'automates, conditions de blocs
  activate). De mani�re g�n�rale, un scope a deux traductions qui sont
  produites : une pour le cas o� ce scope est actif, et une pour le cas o� il
  est inactif (dans le cas inactif, il s'agit simplement de perp�tuer les
  m�moires). Ainsi la traduction d'un bloc \S <math|activate if c then
  b<rsub|1> else b<rsub|2>> \T sera du style
  <math|<around*|(|c\<wedge\>T<rsub|active><around*|(|b<rsub|1>|)>\<wedge\>T<rsub|inactive><around*|(|b<rsub|2>|)>|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>c\<wedge\>T<rsub|active><around*|(|b<rsub|2>|)>\<wedge\>T<rsub|inactive><around*|(|b<rsub|1>|)>|)>>.

  Tout ceci est long � �crire, aussi nous nous contenterons de donner un
  exemples.

  <\example>
    Traduction du programme :

    <\verbatim-code>
      node test() returns(x: int)

      var lx: int;

      let

      \ \ lx = 0 -\<gtr\> pre x;

      \ \ x = if lx \<gtr\>= 5 then 0 else lx + 1;

      tel
    </verbatim-code>

    On obtient la formule :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|<around*|(|<stack|<tformat|<cwith|1|-1|2|2|cell-halign|l>|<table|<row|<cell|>|<cell|l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|\<vee\>>|<cell|\<neg\>l<around*|(|nreset<rsub|/>|)>\<wedge\><around*|(|<stack|<tformat|<cwith|1|-1|2|2|cell-halign|l>|<table|<row|<cell|>|<cell|l<around*|(|act<rsub|/>|)>\<wedge\>\<neg\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|\<vee\>>|<cell|\<neg\>l<around*|(|act<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>=l<around*|(|init<rsub|/>|)>>>>>>|)>>>>>>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|s<around*|(|act<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|\<neg\>s<around*|(|nreset<rsub|/>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|<around*|(|s<around*|(|init<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|lx|)>=0|)>\<vee\><around*|(|\<neg\>s<around*|(|init<rsub|/>|)>\<wedge\>s<around*|(|lx|)>=l<around*|(|m<rsub|1>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|<around*|(|s<around*|(|lx|)>\<geqslant\>5\<wedge\>s<around*|(|x|)>=0|)>\<vee\><around*|(|s<around*|(|lx|)>\<less\>5\<wedge\>s<around*|(|x|)>=s<around*|(|lx|)>+1|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|s<around*|(|m<rsub|1>|)>=s<around*|(|x|)>>>>>
    </eqnarray*>
  </example>

  Pour d'autres traductions, voir les sorties produites par
  <verbatim|scade-analyzer>.

  <section|Interpr�te pour s�mantique concr�te>

  Une premi�re fa�on de faire un interpr�te pour la s�mantique concr�te
  serait de faire un interpr�te de formules logiques, et d'appliquer la
  formule obtenue par traduction r�p�titivement jusqu'� obtenir un point
  fixe.

  Ce n'est cependant pas cette solution que nous avons choisi de mettre en
  place, notre solution est plus proche de la s�mantique par r�duction.

  Nous avons choisi de repr�senter un �tat <math|s> du programme en cours de
  calcul comme une valeur mutables, o� les variables sont calcul�es au fur et
  � mesure qu'on les demande. La structure <math|s> peut donc contenir � un
  instant donn� pour une certaine variable soit une valeur, soit une fonction
  � appeler pour que cette valeur soit calcul�e et rajout�e � <math|s>.

  La proc�dure de calcul consiste � activer le scope racine, puis � appeler
  les fonctions de calcul sur les variables de sortie jusqu'� ce qu'on
  obtienne des valeurs. On enregistre ensuite la portion d'�tat qui nous
  int�resse pour le cycle suivant.

  L'activation d'un scope se fait selon la proc�dure suivante :

  <\itemize>
    <item>Pour une d�finition de variable <math|x=e>, rajouter dans <math|s>
    pour la variable <math|x> la fonction qui calcule <math|e> et rajoute la
    valeur trouv�e dans <math|s>.

    <item>Pour un bloc activate, rajouter dans <math|s> pour toutes les
    variables renvoy�es par le bloc, la fonction qui choisit la branche �
    activer en calculant les conditions et active le scope correspondant.

    <item>Pour un automate, rajouter dans <math|s> pour toutes les variables
    renvoy�es par l'automate, la fonction qui choisit l'�tat � activer en se
    basant sur l'�tat enregistr� au cycle pr�c�dent, et active le scope
    correspondant.
  </itemize>

  Le calcul de la valeur prise par une expression <math|e>, utilis�e dans une
  condition ou pour une d�finition de variable, peut faire appel � d'autres
  variables du programme. � ce moment si une valeur a �t� m�moris�e on
  l'utilise, sinon on appelle la fonction de calcul pour cette variable.
  Lorsque le calcul d'une variable est \S en cours \T, ce statut est
  enregistr� dans <math|s>, ce qui permet de d�tecter les cycles de
  d�pendances.

  L'�tape d'enregistrement des variables d'int�r�t pour le cycle suivant
  comporte notamment une phase de calcul des transitions faibles emprunt�es
  par les automates du programme, pour qu'� l'�tape suivante le calcul puisse
  reprendre directement. Les restart sont aussi trait�s � ce moment l�, avec
  une fonction pour reset un scope qui remet toutes les variables init � true
  et tous les �tats � l'�tat initial, r�cursivement.

  <section|Interpr�tation abstraite>

  Le but de l'interpr�tation abstraite est de prouver certaines propri�t�s
  sur un programme. Pour cela, nous passons par une premi�re approximation,
  la s�mantique collectrice, que nous approximons une seconde fois en la
  passant dans un domaine de repr�sentation abstraite.

  <subsection|S�mantique collectrice>

  <subsubsection|Nouvelle notation : fonction de transition>

  Notons <math|\<bbb-X\>> l'ensemble des variables. On note
  <math|\<bbb-X\><rsub|e>> l'ensemble des variables de type �num�ration et
  <math|\<bbb-X\><rsub|n>> les variables de type num�rique, de sorte que
  <math|\<bbb-X\>=\<bbb-X\><rsub|e>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|n>>.

  Un �tat du syst�me est une fonction <math|\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>,
  o� <math|\<bbb-V\>> repr�sente l'ensemble des valeurs (num�riques ou
  �num�ration). On note <math|\<bbb-M\>=\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>
  l'ensemble des �tats du syst�me.

  Avant le premier cycle, le syst�me peut �tre dans n'importe quel �tat de
  <math|I> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|I>|<cell|=>|<cell|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\>
    \| s<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=tt|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Entre deux cycles, les variables qui comptent r�ellement dans <math|s> sont
  les variables actif et reset pour les scopes, les variables d'�tat pour les
  automates, et les m�moires des <em|pre>.

  Vision habituelle : on a une suite d'�tats
  <math|s<rsub|0>,s<rsub|1>,\<ldots\>> qui repr�sentent la m�moire entre deux
  cycles. <math|s<rsub|0>> est d�fini. On a une relation de transition qui
  prend <math|s<rsub|n>> et les entr�es <math|i<rsub|n+1>> et qui calcule les
  sorties <math|o<rsub|n+1>> et l'�tat suivant <math|s<rsub|n+1>> :

  <\equation*>
    s<rsub|0><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|1>>o<rsub|1>,s<rsub|1><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|2>>o<rsub|2>,s<rsub|2><long-arrow|\<rubber-rightarrow\>|i<rsub|3>>o<rsub|3>,s<rsub|3>\<rightarrow\>*\<cdots\>*
  </equation*>

  Nous introduisons ici une seconde notation pour ce fonctionnement.

  Les variables de l'�tat pr�c�dent <math|s<rsub|n-1>>, au lieu d'�tre
  consid�r�es comme un lieu � part, sont partiellement copi�es dans l'�tat
  <math|s<rsub|n>> par une fonction que l'on appellera fonction de cycle.
  Cette fonction copie uniquement les variables dont les valeurs pr�c�dentes
  sont utiles pour le calcul de la transition, et pr�fixe leur noms d'un
  pr�fixe standard, \S <math|L> \T, qui indique que ce sont des variables de
  type <em|last>, c'est-�-dire des copies de valeurs du cycle pr�c�dent.

  On note cette fonction de cycle <math|c :
  \<bbb-M\>\<rightarrow\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>> ; nous �crivons
  cette fonction comme non-d�terministe car apr�s cette fonction un certain
  nombre de variables sont oubli�es et on consid�re que leurs valeurs n'ont
  pas d'importance. Elle peut �tre d�finie � partir d'un ensembles de
  variables <math|C>, qui sont les variables qui nous int�resseront lors du
  calcul de la transition :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|c<around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|s<rprime|'>\<in\>\<bbb-M\>
    \| \<forall\>x\<in\>C,s<rprime|'><around*|(|L
    x|)>=s<around*|(|x|)>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  D�roulement d'un cycle : on prend l'�tat <math|s> apr�s passage par la
  fonction de cycle, on y met les valeurs des entr�es du syst�me. On applique
  ensuite la fonction <math|f : \<bbb-M\>\<rightarrow\>\<bbb-M\>> qui calcule
  toutes les variables du syst�me (elle peut �tre d�finie comme la saturation
  de la s�mantique par r�duction, comme le point fixe de l'application
  r�p�t�e d'une formule, ou plus classiquement comme l'application d'une
  s�rie d'instructions en style imp�ratif, r�sultat de la compilation du
  programme). On peut � ce moment r�cup�rer les valeurs de sorties.

  Avec nos notations : <math|o<rsub|n+1>> est la restriction de
  <math|f<around*|(|c<around*|(|s<rsub|n>|)>+i<rsub|n+1>|)>> aux variables de
  sortie, o� <math|c<around*|(|s<rsub|n>|)>+i<rsub|n+1>> correspond � d�finir
  les variables de <math|c<around*|(|s<rsub|n>|)>> et de <math|i<rsub|n+1>>.

  <\remark>
    En principe, quel que soit <math|x\<in\>c<around*|(|s<rsub|n>|)>>,
    <math|f<around*|(|x+i<rsub|n+1>|)>> ne peut �tre qu'un seul
    environnement, car le programme est d�terministe. C'est pourquoi on se
    permet l'abus de notation <math|f<around*|(|c<around*|(|s<rsub|n>|)>+i<rsub|n+1>|)>>.
  </remark>

  <subsubsection|Suppression des entr�es, s�mantique collectrice>

  On s'int�resse maintenant � l'ex�cution d'un programme SCADE quelles que
  soient ses entr�es <math|i<rsub|n>>. On peut faire des hypoth�ses sur ces
  entr�es en utilisant la directive <verbatim|assume> du langage. On suppose
  que l'on dispose d'une fonction <math|q :
  \<bbb-M\>\<rightarrow\><around*|{|tt,ff|}>> qui nous dit si un
  environnement est conforme � la sp�cification donn�e par les directives
  <verbatim|assume>.

  On s'int�resse maintenant � la s�mantique non d�terministe suivante :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\>
    \| s<around*|(|nreset<rsub|/>|)>=tt|}>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1><rsub|>>|<cell|=>|<cell|g<around*|(|s<rsub|n>|)>>>|<row|<cell|g<around*|(|x|)>>|<cell|=>|<cell|<big|cup><rsub|s\<in\>x><around*|{|f<around*|(|a|)>,a\<in\>c<around*|(|s|)>,q<around*|(|f<around*|(|a|)>|)>=tt|}>>>>>
  </eqnarray*>

  \;

  La valeur <math|s<rsub|n>> contient tous les environnements possibles pour
  le syst�me � la <math|n>-�me �tape, quelles que soient les entr�es jusque
  l�.

  On d�finit maintenant la s�mantique collectrice du programme comme �tant la
  valeur :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|S>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|s<rsub|0>>
    <around*|(|\<lambda\>s.s<rsub|0>\<cup\>g<around*|(|s|)>|)>>>|<row|<cell|S>|<cell|\<in\>>|<cell|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  <math|S> repr�sente ici exactement l'ensemble de tous les �tats accessibles
  par le syst�me, � tout moment, quelles que soient les valeurs en entr�e.

  Toute la suite de notre travail consistera � construire une approximation
  la meilleure possible de <math|S>.

  <subsection|G�n�ralit�s sur l'interpr�tation abstraite>

  Une abstraction est d�finie par une correspondance de Galois entre
  <math|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>> et <math|\<cal-D\><rsup|#>>,
  repr�sentation abstraite d'une partie de <math|\<bbb-M\>>. L'abstraction
  peut �tre caract�ris�e par sa fonction de concr�tisation :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<gamma\>>|<cell|:>|<cell|\<cal-D\><rsup|#>\<rightarrow\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  \ On peut aussi g�n�ralement s'appuyer sur l<math|>'existence d'une
  fonction d'abstraction :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<alpha\>>|<cell|:>|<cell|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#>>>>>
  </eqnarray*>

  Cette fonction fait correspondre � une partie de <math|\<bbb-M\>> sa
  meilleure approximation dans le domaine abstrait, lorsque celle-ci existe
  (par exemple dans le cas des poly�dres, l'abstraction d'un ensemble fini de
  points est leur enveloppe convexe, mais un cercle n'a pas de meilleure
  abstraction). En pratique la fonction d'abstraction n'est pas tr�s
  utilis�e.

  Dans tous les cas, on s'attend � ce que
  <math|\<forall\>x\<in\>\<cal-D\><rsup|#>,x\<sqsubseteq\>\<alpha\><around*|(|\<gamma\><around*|(|x|)>|)>>
  d'une part et <math|\<forall\>y\<in\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>,y\<subseteq\>\<gamma\><around*|(|\<alpha\><around*|(|y|)>|)>>
  d'autre part.

  De base ici, nous avons deux choix simples pour <math|\<cal-D\><rsup|#>> :
  les intervalles et les poly�dres convexes. Ceux-ci sont consid�r�s acquis
  pour la suite ; on les note <math|\<cal-D\><rsub|int><rsup|#>> et
  <math|\<cal-D\><rsub|poly><rsup|#>>, avec les fonctions de concr�tisation
  <math|\<gamma\><rsub|int>> et <math|\<gamma\><rsub|poly>> associ�es.

  On note <math|\<bbb-E\>> l'ensemble des �quations (�galit�s et in�galit�s)
  sur des variables de <math|\<bbb-X\>>. Par exemple les �l�ments suivants
  sont des �quations de <math|\<bbb-E\>> :
  <math|x=0,c=tt,y\<geqslant\>5*x-2>.

  Pour <math|s\<in\>\<bbb-M\>> et <math|e\<in\>\<bbb-E\>>, on note
  <math|s\<vDash\>e> si l'expression <math|e> est vraie dans l'�tat <math|s>.

  Pour un domaine abstrait <math|\<cal-D\><rsup|#>> et pour une expression
  <math|e\<in\>\<bbb-E\>>, on suppose que l'on a une fonction s�mantique
  <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>> :
  \<cal-D\><rsup|#>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#>> qui restreint
  l'abstraction <math|s<rsup|#>> en une sur-approximation (la meilleure
  possible) de <math|\<alpha\><around*|(|<around*|{|s\<in\>\<gamma\><around*|(|s<rsup|#>|)>
  \| s\<vDash\>e|}>|)>> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<around*|{|s\<in\>\<gamma\><around*|(|s<rsup|#>|)>
    \| s\<vDash\>e|}>>|<cell|\<sqsubseteq\>>|<cell|\<gamma\><around*|(|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s<rsup|#>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  La fonction de transition <math|f> est repr�sent�e dans l'abstrait par une
  fonction <math|f<rsup|#>> qui correspond � l'application d'un certain
  nombre de contraintes de <math|\<bbb-E\>>, ainsi que de disjonction de cas.
  On remarque que l'aspect imp�ratif dispara�t compl�tement, on n'a plus
  qu'un ensemble d'�quations et de disjonctions. La traduction du programme
  SCADE en formule logique donne directement une formule de ce style que l'on
  peut appliquer sur un environnement abstrait.

  La fonction de cycle <math|c> correspond � conserver un certain nombre de
  variables en tant que \S m�moires \T, en pr�fixant leur noms d'un \S L \T
  pour <em|last>. Notons <math|C> l'ensemble des variables � conserver. Cette
  fonction peut �tre repr�sent�e dans l'abstrait par l'op�rateur
  <math|c<rsup|#>> dont une d�finition est :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|c<rsup|#><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<alpha\><around*|(|<around*|{|\<rho\>\<in\>\<bbb-M\>
    \| \<forall\>x\<in\>C,\<exists\>\<rho\><rprime|'>\<in\>\<gamma\><around*|(|s|)>\|\<rho\><around*|(|L
    x|)>=\<rho\><rprime|'><around*|(|x|)>|}>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  (cette d�finition n'est pas constructive car on n'impl�mente jamais
  <math|\<gamma\>> directement)

  Cela correspond � oublier un certain nombre de variables qui ne nous
  int�ressent plus, et � renommer celles que l'on garde.

  <\example>
    Soit le programme suivant :

    <\verbatim>
      node counter() returns(x: int)

      \ \ x = 0 -\<gtr\> (if pre x = 5 then 0 else pre x + 1)
    </verbatim>

    Celui-ci est traduit par une formule du style :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|init<rsub|/>\<equiv\>Lnreset<rsub|/>>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|nreset<rsub|/>\<equiv\>ff>>|<row|<cell|>|<cell|\<wedge\>>|<cell|<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|<around*|(|init<rsub|/>\<equiv\>tt\<wedge\>x=0|)>>>|<row|<cell|\<vee\>>|<cell|<around*|(|init<rsub|/>\<equiv\>ff\<wedge\><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|<around*|(|Lx=5\<wedge\>x=0|)>>>|<row|<cell|\<vee\>>|<cell|<around*|(|Lx\<neq\>5\<wedge\>x=Lx+1|)>>>>>>|)>|)>>>>>>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    Les deux variables qui ont besoin d'�tre perp�tu�es d'un cycle au suivant
    sont <math|nreset<rsub|/>> et <math|x>, la fonction de cycle
    <math|c<rsup|#>> est donc d�finie � partir de
    <math|C=<around*|{|nreset<rsub|/>,x|}>>.

    La fonction <math|f<rsup|#>>, quant � elle, refl�te directement la
    structure de la formule :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|f<rsup|#><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|init<rsub|/>\<equiv\>Lnreset<rsub|/>|\<rrbracket\>>\<circ\><around*|\<llbracket\>|nreset<rsub|/>\<equiv\>ff|\<rrbracket\>><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|<around*|\<llbracket\>|init<rsub|/>\<equiv\>tt|\<rrbracket\>>\<circ\><around*|\<llbracket\>|x=0|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>>|<row|<cell|\<sqcup\>>|<cell|<around*|\<llbracket\>|init<rsub|/>\<equiv\>ff|\<rrbracket\>><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|<around*|\<llbracket\>|Lx=5|\<rrbracket\>>\<circ\><around*|\<llbracket\>|x=0|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>>|<row|<cell|\<sqcup\>>|<cell|<around*|\<llbracket\>|Lx\<neq\>5|\<rrbracket\>>\<circ\><around*|\<llbracket\>|x=Lx+1|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>>>>>|)>>>>>>|)>>>>>
    </eqnarray*>
  </example>

  Par facilit�, on note <math|g<rsup|#>=c<rsup|#>\<circ\>f<rsup|#>>. �tant
  donn� qu'un programme est essentiellement une grosse boucle, la valeur qui
  nous int�resse est l'abstraction de <math|S> donn�e par :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|S<rsup|#>>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|I<rsup|#>><around*|(|\<lambda\>i.I<rsup|#>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|i|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  O� <math|I<rsup|#>> est l'�tat initial du syst�me et est d�fini par
  <math|I<rsup|#>=<around*|\<llbracket\>|i|\<rrbracket\>><around*|(|\<top\>|)>>,
  o� <math|i> est une �quation du type <math|Lnreset<rsub|/>=tt>.

  Nous en venons donc � chercher des domaines abstraits les mieux � m�me de
  repr�senter les diff�rentes contraintes exprimables dans <math|\<bbb-E\>>.
  Dans notre cas, celles-ci se divisent essentiellement en deux cat�gories :

  <\itemize>
    <item>Contraintes num�riques : les variables sont dans
    <math|\<bbb-X\><rsub|n>>, les constantes dans <math|\<bbb-N\>> (ou
    <math|\<bbb-Q\>>), les op�rateurs sont <math|+,-,\<times\>,\<div\>,
    mod,=,\<geqslant\>,\<neq\>>. On note <math|\<bbb-E\><rsub|n>> l'ensemble
    de telles contraintes.

    <item>Contraintes �num�r�es : les variables sont dans
    <math|\<bbb-X\><rsub|e>>, les constantes dans un ensemble fini qui d�pend
    du types des variables, les op�rateurs sont <math|\<equiv\>,\<nequiv\>>.
    On note <math|\<bbb-E\><rsub|e>> l'ensemble de telles contraintes.
  </itemize>

  Les domaines num�riques <math|\<cal-D\><rsub|int><rsup|#>> et
  <math|\<cal-D\><rsub|poly><rsup|#>> ne sont pas � m�me de repr�senter
  correctement les contraintes de <math|\<bbb-E\><rsub|e>>. G�n�ralement, on
  d�finit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>\<nocomma\>,<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|int>>|<cell|=>|<cell|id<rsub|\<cal-D\><rsub|int><rsup|#>>>>|<row|<cell|\<forall\>e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>,<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|poly>>|<cell|=>|<cell|id<rsub|\<cal-D\><rsub|poly><rsup|#>>>>>>
  </eqnarray*>

  Les variables bool�ennes peuvent �tre repr�sent�es par <math|0> et
  <math|1>, par exemple on peut introduire les transformations suivantes (en
  notant <math|\<bbb-X\><rsub|b>> l'ensemble des variables � valeurs
  bool�ennes) :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x=tt|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=1|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>|<row|<cell|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x=ff|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=0|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>|<row|<cell|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x=y|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=y|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>|<row|<cell|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-X\><rsub|b>,<around*|\<llbracket\>|x\<neq\>y|\<rrbracket\>>>|<cell|=>|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=1-y|\<rrbracket\>><rsub|poly>>>>>
  </eqnarray*>

  Les r�sultats sont g�n�ralement plus que m�diocres. De plus, on ne peut pas
  repr�senter ainsi de fa�on exacte les valeurs d'�num�rations ayant plus de
  deux �l�ments (puisqu'on se restreint � une enveloppe convexe).

  <section|Domaines abstraits et disjonction de cas>

  Pour l'analyse de programmes SCADE, l'analyse de l'ensemble de la boucle de
  contr�le comme une seule valeur dans un environnement abstrait num�rique
  est insuffisante. Il nous a donc �t� crucial de d�velopper des domaines
  abstraits capables de faire des disjonctions de cas afin de traiter de
  mani�re plus fine l'�volution du programme.

  Nous souhaitons pouvoir faire des disjonctions de cas selon les valeurs des
  variables de <math|\<bbb-X\><rsub|e>>. Par exemple si on a un automate
  <math|A> dont la variable d'�tat s'appelle <math|q> et �volue dans
  l'ensemble <math|Q=<around*|{|up,down,left,right,stay|}>>, on voudrait
  pouvoir isoler cette variable des autres, ne plus l'inclure dans le domaine
  abstrait et l'utiliser pour diff�rencier plusieurs valeurs abstraites. Il
  nous faut donc red�finir le domaine abstrait <math|\<cal-D\>> et surtout la
  fonction d'application d'une condition <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>>>
  avec <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>>.

  <subsection|Domaine � disjonction simple>

  Supposons que l'on ait maintenant trois ensembles de variables :

  <\itemize>
    <item><math|\<bbb-X\><rsub|n>> : variables num�riques

    <item><math|\<bbb-X\><rsub|e>> : variables �num�r�es non consid�r�es
    comme variables de disjonction

    <item><math|\<bbb-X\><rsub|d>> : variables de disjonction, prenant leurs
    valeurs dans <math|\<bbb-V\><rsub|d>> un ensemble fini (pour �tre pr�cis,
    il faudrait noter <math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>>,
    <math|\<bbb-V\><rsub|d><around*|(|x|)>> l'ensemble des valeurs possibles
    pour la valeur <math|x>, qui peut �tre diff�rent selon la variable - on
    est amen� � faire un peu de typage, il faut en particulier s'assurer que
    les contraintes que l'on donne sont entre deux variables pouvant prendre
    les m�mes valeurs).
  </itemize>

  On consid�re dans cette section que l'on a un domaine abstrait
  <math|\<cal-D\><rsup|#><rsub|0>> capable de g�rer les contraintes sur les
  variables num�riques et sur les variables �num�r�es, mais sans relation
  entre les deux. Le domaine <math|\<cal-D\><rsup|#><rsub|0>> repr�sente une
  abstraction de <math|\<bbb-M\><rsub|0>=<around*|(|\<bbb-X\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|e>|)>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>.
  On note <math|\<bot\><rsub|0>> et <math|\<top\><rsub|0>> les �l�ments
  bottom et top de ce treillis, <math|\<sqcup\><rsub|0>> et
  <math|\<sqcap\><rsub|0>> les bornes inf et sup de ce treillis, ainsi que
  <math|\<nabla\><rsub|0>> son op�rateur de widening. On note
  <math|<around*|\<llbracket\>|\<cdummy\>|\<rrbracket\>><rsub|0>> la fonction
  de restriction par une contrainte.

  La particularit� des variables de disjonction est que l'on ne r�alise pas
  d'abstraction sur celles-ci : on repr�sente directement un �tat par une
  valuation de ces variables, dans <math|\<bbb-X\><rsub|d>\<rightarrow\>\<bbb-V\><rsub|d>=\<bbb-M\><rsub|d>>.

  On appelle toujours <math|\<bbb-M\>=\<bbb-X\>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>, o�
  <math|\<bbb-X\>=\<bbb-X\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|e>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|d>>.
  On a une injection �vidente de <math|\<bbb-M\><rsub|d>> dans
  <math|\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>>, on identifie donc
  <math|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>> � <math|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\>\|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>,s<around*|(|x|)>=d<around*|(|x|)>|}>>.
  De m�me on identifie <math|e\<in\>\<bbb-M\><rsub|0>> �
  <math|<around*|{|s\<in\>\<bbb-M\> \| \<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|e>,s<around*|(|x|)>=e<around*|(|x|)>|}>>.

  On construit maintenant le domaine abstrait disjonctif comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<cal-D\><rsup|#>>|<cell|=>|<cell|\<bbb-M\><rsub|d>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#><rsub|0>>>|<row|<cell|\<gamma\><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|<big|cup><rsub|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>>d\<cap\>\<gamma\><around*|(|s<around*|(|d|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Les �l�ments <math|\<top\>> et <math|\<bot\>> sont d�finis comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<bot\>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.\<bot\><rsub|0>>>|<row|<cell|\<top\><rsub|>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.\<top\><rsub|0>>>>>
  </eqnarray*>

  On v�rifie bien que <math|\<gamma\><around*|(|\<bot\>|)>=\<varnothing\>> et
  <math|\<gamma\><around*|(|\<top\>|)>=\<bbb-M\>>.

  On peut aussi d�finir les op�rations <math|\<sqcup\>> et <math|\<sqcap\>> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s\<sqcup\>t>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<around*|(|s<around*|(|d|)>\<sqcup\><rsub|0>t<around*|(|d|)>|)>>>|<row|<cell|s\<sqcap\>t>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<around*|(|s<around*|(|d|)>\<sqcap\><rsub|0>t<around*|(|d|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Enfin, la partie int�ressante : on peut d�finir un certain nombres
  d'op�rateurs de restriction :

  <\itemize>
    <item><math|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>,\<forall\>s\<in\>\<cal-D\><rsup|#>>,

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=y|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>=d<around*|(|y|)>>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|0>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x\<neq\>y|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>\<neq\>d<around*|(|y|)>>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|0>>|<cell|sinon>>>>>>>>>
    </eqnarray*>

    <item><math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-X\><rsub|d>,\<forall\>v\<in\>\<bbb-V\><rsub|d>>,

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x=v|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>=v>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|0>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|x\<neq\>v|\<rrbracket\>><rsub|><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si
      d<around*|(|x|)>\<neq\>v>>|<row|<cell|\<bot\><rsub|0>>|<cell|sinon>>>>>>>>>
    </eqnarray*>
  </itemize>

  <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>>> est donc d�fini correctement
  pour tout <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|d>>, o� <math|\<bbb-E\><rsub|d>> est
  l'ensemble des conditions sur variables de disjonction de
  <math|\<bbb-V\><rsub|d>>. Pour toute expression
  <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|n>> ou <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>>, le
  domaine <math|\<cal-D\><rsup|#><rsub|0>> est sens� savoir les prendre en
  compte de mani�re satisfaisante, on d�finit donc :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<forall\>e\<in\>\<bbb-E\><rsub|n>\<cup\>\<bbb-E\><rsub|e>,<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|0><around*|(|s<around*|(|d|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  L'op�rateur de widening reste probl�matique. On peut d�finir un op�rateur
  de widening point par point :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s \<nabla\>
    t>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.s<around*|(|d|)> \<nabla\><rsub|0>
    t<around*|(|d|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Mais celui-ci est peu satisfaisant car chaque �tat
  <math|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>> repr�sente potentiellement un �tat d'un
  syst�me de transitions, pouvant d�boucher sur lui-m�me ou sur un autre
  �tat, et il faut savoir prendre en compte ces disjonctions � un niveau plus
  fin. Il faut donc plut�t voir le tout comme un syst�me de transitions.

  �tant donn� notre syst�me repr�sent� par une fonction de transition
  <math|f<rsup|#>> et une fonction de cycle <math|c<rsup|#>> (par facilit�,
  on notera <math|g<rsup|#>=c<rsup|#>\<circ\>f<rsup|#>>), l'ensemble des
  �tats accessible par le syst�me est <math|S<rsup|#>=lfp<rsub|S<rsub|0><rsup|#>><around*|(|\<lambda\>s.S<rsub|0><rsup|#>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|s|)>|)>>,
  o� <math|S<rsub|0><rsup|#>=<around*|\<llbracket\>|i|\<rrbracket\>><around*|(|\<top\>|)>>.

  Pour <math|d<rsub|0>\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>>, notons
  <math|r<rsub|d<rsub|0>> : \<cal-D\><rsup|#>\<rightarrow\>\<cal-D\><rsup|#>>
  tel que <math|r<rsub|d<rsub|0>><around*|(|s|)>=\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|\<bot\><rsub|0>>|<cell|si
  d\<neq\>d<rsub|0>>>|<row|<cell|s<around*|(|d|)>>|<cell|si d=d<rsub|0>>>>>>>

  Le principe des it�rations chaotiques peut s'�crire comme suit :

  <\itemize>
    <item>Poser :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|S<rsub|0><rsup|#>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
      s<rsub|0><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|0>|}>>>>>
    </eqnarray*>

    <item>Tant que <math|\<delta\><rsub|n>\<neq\>\<varnothing\>>, on r�p�te
    le processus suivant :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|n+1>>|<cell|\<in\>>|<cell|\<delta\><rsub|n>
      <text| (choisi arbitrairement)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|g<rsup|#><around*|(|r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>|)>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|s<rsub|n>\<sqcup\>D<rsub|n+1>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<delta\><rsub|n>\\<around*|{|a<rsub|n+1>|}>|)>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n><around*|(|d|)>|}>>>>>
    </eqnarray*>
  </itemize>

  Intuitivement : <math|\<bbb-M\><rsub|d>> repr�sente l'ensemble des �tats
  possibles pour notre syst�me de transition. � chaque it�ration, on choisit
  un �tat qui a grossi depuis la derni�re fois. On calcule ses successeurs et
  on met � jour l'ensemble des �tats que l'on conna�t.

  Probl�me : ici on ne fait pas de widening, et on peut �tre � peu pr�s s�r
  que l'analyse ne terminera pas (sauf cas simples). Pour cela, on introduit
  un ensemble <math|K<rsub|\<nabla\>>\<subset\>\<bbb-M\><rsub|d>> qui
  repr�sente l'ensemble des �tats que l'on devra faire grossir par widening
  et non par union simple dans le futur. La d�finition devient alors :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|S<rsub|0><rsup|#>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|0><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|0>|}>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,0>>|<cell|=>|<cell|\<varnothing\>>>>>
  </eqnarray*>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|n+1>>|<cell|\<in\>>|<cell|\<delta\><rsub|n>
    <text| (choisi arbitrairement)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|g<rsup|#><around*|(|r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>|)>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>
    \<nabla\><rsub|0> D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|si
    d\<in\>K<rsub|\<nabla\>,n>>>|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>
    \<sqcup\><rsub|0> D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n+1>>|<cell|=>|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|n><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|0>\<wedge\>s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n>|}>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<delta\><rsub|n>\\<around*|{|a<rsub|n+1>|}>|)>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n><around*|(|d|)>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Ie : si un �tat est apparu � une �tape, et si � une �tape ult�rieure il
  grossit, alors lors de toutes les �tapes suivantes on le fera grossir non
  pas par union simple mais par �largissement.

  Reste une question : comment prendre en compte les conditions de boucle qui
  permettent de r�duire le domaine abstrait ? La d�finition pr�c�dente n'est
  peut-�tre pas la bonne, car elle risque d'appliquer des �largissements que
  l'on ne sait plus ensuite comment r�tr�cir pour refaire appara�tre les
  bonnes conditions. Nous proposons comme forme final le processus
  d'it�ration suivant :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|S<rsub|0><rsup|#>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|0>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|0><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|0>|}>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,0>>|<cell|=>|<cell|\<varnothing\>>>>>
  </eqnarray*>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|n+1>>|<cell|\<in\>>|<cell|\<delta\><rsub|n>
    <text| (choisi arbitrairement)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>|)>><around*|(|\<lambda\>i.r<rsub|a<rsub|n+1>><around*|(|s<rsub|n>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|i|)>|)>|)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|D<rsub|n+1><rsup|0>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>d.<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>
    \<nabla\><rsub|0> D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|si
    d\<in\>K<rsub|\<nabla\>,n> et d\<neq\>a<rsub|n+1>>>|<row|<cell|s<rsub|n><around*|(|d|)>
    \<sqcup\><rsub|0> D<rsub|n+1><around*|(|d|)>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n+1>>|<cell|=>|<cell|K<rsub|\<nabla\>,n>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|
    s<rsub|n><around*|(|d|)>\<neq\>\<bot\><rsub|0>\<wedge\>s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n>|}>>>|<row|<cell|\<delta\><rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<delta\><rsub|n>\\<around*|{|a<rsub|n+1>|}>|)>\<cup\><around*|{|d\<in\>\<bbb-M\><rsub|d>\|s<rsub|n+1><around*|(|d|)>\<neq\>s<rsub|n><around*|(|d|)>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  O� le point fixe <math|D<rsub|n+1><rsup|0>> est calcul� avec appel au
  widening au besoin, et en faisant une ou des it�rations d�croissantes � la
  fin. Intuitivement : on fait grossir un �tat au maximum, en cherchant son
  point fixe en boucle sur lui-m�me. Ensuite seulement on s'occupe de savoir
  ce qu'il peut propager aux autres �tats.

  <subsection|Domaine � graphe de d�cision>

  Nous proposons dans ce paragraphe un second domaine abstrait capable de
  faire des disjonctions de cas, et qui permet de mieux tra�ter des probl�mes
  ayant un nombre important de variables de type �num�r� reli�es entre elles
  par des relations complexes.

  D�finition du domaines abstraits avec graphes de d�cision : on va �crire
  ici une d�finition math�matique des op�rateurs que l'on a impl�ment�. On
  fait abstraction des probl�matiques de m�moisation et de partage des
  sous-graphes, qui font tout l'int�r�t de la technique d'un point de vue
  pratique mais qui peuvent �tre consid�r�s comme un traitement � part (ce
  n'est rien de plus que de la m�moisation et du partage).

  <subsubsection|Variables et contraintes>

  Il y a deux domaines de variables, <math|\<bbb-X\><rsub|e>> pour les
  �num�r�s et <math|\<bbb-X\><rsub|n>> pour les variables num�riques. Il y a
  deux domaines pour les contraintes, <math|\<bbb-E\><rsub|e>> les
  contraintes sur les �num�r�s (de la forme <math|x\<equiv\>y> ou
  <math|x\<equiv\>v,v\<in\>\<bbb-V\><rsub|e>>) et <math|\<bbb-E\><rsub|n>>
  les contraintes sur les variables num�riques (�galit�s ou in�galit�s).

  <subsubsection|Domaine num�rique>

  On note <math|D<rsub|n>> le domaine des valeurs num�riques et
  <math|\<sqcup\><rsub|n>>, <math|\<sqcap\><rsub|n>>,
  <math|<around*|\<llbracket\>|\<cdummy\>|\<rrbracket\>><rsub|n>>,
  <math|\<bot\><rsub|n>>, <math|\<top\><rsub|n>>,
  <math|\<sqsubseteq\><rsub|n>>, <math|\<matheuler\><rsub|n>>,
  <math|\<nabla\><rsub|n>> les �l�ments correspondants dans ce domaine. On
  consid�re que <math|\<gamma\><rsub|n> :
  D<rsub|n>\<rightarrow\>\<cal-P\><around*|(|\<bbb-M\>|)>> (avec
  <math|\<bbb-M\>=\<bbb-X\><rsub|e>\<cup\>\<bbb-X\><rsub|n>\<rightarrow\>\<bbb-V\>>)
  donne toutes les valuations possibles pour les variables de
  <math|\<bbb-X\><rsub|e>>.

  <subsubsection|Les EDD>

  On d�finit un ordre sur les variables de <math|\<bbb-X\><rsub|e>> :
  <math|\<bbb-X\><rsub|e>=<around*|{|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|}>>
  (bien choisi pour r�duire la taille du graphe).

  On d�finit ensuite une valeur du domaine disjonctif, ie un EDD, par un type
  somme comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s>|<cell|\<assign\>>|<cell|V<around*|(|t\<in\>D<rsub|num>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|\|>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Si on voit �a comme un arbre, alors il faut que si un noeud
  <math|C<around*|(|x<rsub|i>,\<ldots\>|)>> est anc�tre d'un noeud
  <math|C<around*|(|x<rsub|j>,\<ldots\>|)>>, alors <math|i\<less\>j> (par
  rapport � l'ordre donn� sur <math|\<bbb-X\><rsub|e>>).\ 

  Pour faciliter les notations, on introduit le rang d'un noeud :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<delta\><around*|(|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|i>>|<row|<cell|\<delta\><around*|(|V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|\<infty\>>>>>
  </eqnarray*>

  La contrainte se traduit par, pour tout noeud
  <math|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>,
  on a <math|\<forall\>j,i\<less\>\<delta\><around*|(|s<rsub|j>|)>>.

  On d�finit aussi la contrainte suivante : on n'a pas le droit d'avoir de
  noeud <math|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>
  si <math|s<rsub|1>=s<rsub|2>=*\<cdots\>*=s<rsub|p>>. Cela implique
  l'unicit� de l'arbre qui repr�sente un environnement donn�.

  La concr�tisation est d�finie comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<gamma\><around*|(|V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|\<gamma\><rsub|n><around*|(|t|)>>>|<row|<cell|\<gamma\><around*|(|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<big|cup><rsub|j=1><rsup|p><around*|{|s\<in\>\<gamma\><around*|(|s<rsub|j>|)>
    \| s<around*|(|x<rsub|i>|)>=v<rsub|j>|}>>>>>
  </eqnarray*>

  Les �l�ments <math|\<top\>> et <math|\<bot\>> sont d�finis comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<top\>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|\<top\><rsub|n>|)>>>|<row|<cell|\<bot\>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|\<bot\><rsub|n>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Pour assurer l'unicit� lors des transformations, on d�finit la fonction de
  r�duction <math|r> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|r<around*|(|<around*|\<nobracket\>|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|\<nobracket\>>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|1>>|<cell|si
    s<rsub|1>=s<rsub|2>=*\<cdots\>*s<rsub|p>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>|<cell|sinon>>>>>>>>>
  </eqnarray*>

  L'op�ration <math|\<sqcap\>> est d�finie comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t|)>\<sqcap\>V<around*|(|t<rprime|'>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|t\<sqcap\><rsub|n>t<rprime|'>|)>>>|<row|<cell|<stack|<tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>>|<row|<cell|\<sqcap\>>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1><rprime|'>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p><rprime|'>|)>>>>>>>|<cell|=>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>\<sqcap\>s<rsub|1><rprime|'>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>\<sqcap\>s<rsub|p><rprime|'>|)>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>\<sqcap\>s<rprime|'>>|<cell|<above|=|<text|lorsque
    <math|i\<less\>\<delta\><around*|(|s<rprime|'>|)>>>>>|<cell|<stack|<tformat|<table|<row|<cell|r<around*|(|<around*|\<nobracket\>|x<rsub|i>,<stack|<tformat|<table|<row|<cell|v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>\<sqcap\>s<rprime|'>>>|<row|<cell|*\<vdots\>>>|<row|<cell|v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>\<sqcap\>s<rprime|'>>>>>>|)>|\<nobracket\>>>>>>>>>>>
  </eqnarray*>

  et sym�triquement lorsque <math|\<delta\><around*|(|s|)>\<gtr\>\<delta\><around*|(|s<rprime|'>|)>>
  (le noeud le plus haut est celui correspondant � la variable d'indice le
  plus faible, pour respecter l'ordre).

  L'op�ration <math|\<sqcup\>> est d�finie pareil.

  Si <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|n>>, on d�finit
  <math|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>>> par :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><rsub|n><around*|(|t|)>|)>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\><around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\><around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Pour les conditions sur les �num�r�s, on d�finit d'abord :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|c<around*|(|x\<equiv\>v|)>>|<cell|=>|<cell|C<around*|(|x,v\<rightarrow\>\<top\>,v<rprime|'>\<rightarrow\>\<bot\>,v<rprime|'>\<in\>\<bbb-V\><rsub|e>\\<around*|{|v|}>|)>>>|<row|<cell|c<around*|(|x\<nequiv\>v|)>>|<cell|=>|<cell|C<around*|(|x,v\<rightarrow\>\<bot\>,v<rprime|'>\<rightarrow\>\<top\>,v<rprime|'>\<in\>\<bbb-V\><rsub|e>\\<around*|{|v|}>|)>>>|<row|<cell|c<around*|(|x<rsub|i>\<equiv\>x<rsub|j>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    i\<less\>j>>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<equiv\>v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<equiv\>v<rsub|p>|)>|)>>>|<row|<cell|c<around*|(|x<rsub|i>\<nequiv\>x<rsub|j>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    i\<less\>j>>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<nequiv\>v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>c<around*|(|x<rsub|j>\<nequiv\>v<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  et sym�triquement lorsque <math|j\<gtr\>i>.

  On peut ensuite poser, pour <math|e\<in\>\<bbb-E\><rsub|e>> :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|e|\<rrbracket\>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|c<around*|(|e|)>\<sqcap\>s>>>>
  </eqnarray*>

  L'�galit� entre les valeurs repr�sent�es par deux EDD correspond �
  l'�galit� de ces deux EDD (c'est une CNS).

  L'inclusion est �galement d�finie par induction :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t|)>\<sqsubseteq\>V<around*|(|t<rprime|'>|)>>|<cell|\<equiv\>>|<cell|t\<sqsubseteq\><rsub|n>t<rprime|'>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>\<sqsubseteq\>C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1><rprime|'>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p><rprime|'>|)>>|<cell|\<equiv\>>|<cell|<big|wedge><rsub|i=1><rsup|p>s<rsub|i>\<sqsubseteq\>s<rsub|i><rprime|'>>>|<row|<cell|s\<sqsubseteq\>C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>|<cell|<above|\<equiv\>|lorsque
    \<delta\><around*|(|s|)>\<gtr\>i>>|<cell|<big|wedge><rsub|i=1><rsup|p>s\<sqsubseteq\>s<rsub|i>>>|<row|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>\<sqsubseteq\>s<rprime|'>>|<cell|<above|\<equiv\>|lorsque
    i\<less\>\<delta\><around*|(|s<rprime|'>|)>>>|<cell|<big|wedge><rsub|i=1><rsup|p>s<rsub|i>\<sqsubseteq\>s<rprime|'>>>>>
  </eqnarray*>

  <subsubsection|Op�rateur de widening>

  Sur nos EDD, on d�finit une op�ration <math|\<rho\>:D<rsub|n>\<times\>D\<rightarrow\>D>
  comme suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|\<top\>>|<cell|si
    t=t<rsub|0>>>|<row|<cell|\<bot\>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,s<rsub|1>|)>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,s<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Explication : cette fonction extrait d'un EDD la fonction bool�enne qui
  m�ne vers exactement une certaine valeur abstraite des num�riques.

  On introduit maintenant un op�rateur de widening sur nos arbres :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a\<nabla\>b>|<cell|=>|<cell|f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,a,b|)>>>|<row|<cell|f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,V<around*|(|t|)>,V<around*|(|t<rprime|'>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t
    \<nabla\><rsub|n> t<rprime|'>|)>>|<cell|si
    \<rho\><around*|(|t,a|)>=\<rho\><around*|(|t<rprime|'>,b|)>>>|<row|<cell|V<around*|(|t\<sqcup\><rsub|n>t<rprime|'>|)>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,s,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    i\<less\>\<delta\><around*|(|s|)>>>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,<stack|<tformat|<table|<row|<cell|v<rsub|1>\<rightarrow\>f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|1>|)>>>|<row|<cell|*\<vdots\>>>|<row|<cell|v<rsub|p>\<rightarrow\>f<rsub|\<nabla\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|p>|)>>>>>>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Les autres cas sont d�finis exactement pareil (cf d�finition de
  <math|\<sqcup\>>, plus on passe <math|a> et <math|b> � notre fonction
  <math|f<rsub|\<nabla\>>>). Explication : lorsque l'on doit faire l'union de
  deux feuilles, on fait un widening si et seulement si les deux feuilles
  sont accessibles selon exactement la m�me formule bool�enne sur les
  �num�r�s dans <math|a> et <math|b>.

  <subsubsection|<paragraph|It�rations chaotiques.>>

  On enrichit un peu notre arbre au niveau des feuilles pour enregistrer
  quelques informations suppl�mentaires :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s>|<cell|\<assign\>>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i>>>|<row|<cell|>|<cell|\|>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>>>|<row|<cell|>|<cell|\|>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,v<rsub|2>\<rightarrow\>s<rsub|2>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  L'�toile correspondra � : \S cette feuille est nouvelle, il faut l'analyse
  comme nouveau cas \T, et l'indice <math|i\<in\>\<bbb-N\>> correspond � : \S
  cette feuille est l� depuis <math|k> it�rations \T, o� le <math|k> permet
  d'impl�menter un d�lai de widening.

  On se donne <math|\<tau\>> un d�lai de widening, param�tre de l'analyse. On
  d�finit maintenant une fonction d'accumulation <math|\<diamond\>> comme
  suit :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|a \<diamond\>
    b>|<cell|=>|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,a,b|)>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,\<bot\><rsub|>,V<around*|(|t|)>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    t\<neq\>\<bot\><rsub|n>>>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|0>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<nu\>>,\<bot\>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<nu\>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<nu\>>,V<around*|(|t<rprime|'>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t
    \<nabla\><rsub|n> t<rprime|'>|)><rsub|i+1><rsup|\<nu\>>>|<cell|si
    \<rho\><around*|(|t,a|)>=\<rho\><around*|(|t<rprime|'>,b|)><text| et >
    i\<geqslant\><rsub|>\<tau\>>>|<row|<cell|V<around*|(|t\<sqcup\><rsub|n>t<rprime|'>|)><rsub|i+1><rsup|\<nu\>>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,s,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|<above|=|lorsque
    \<delta\><around*|(|s|)>\<gtr\>i>>|<cell|r<around*|(|x<rsub|i>,<stack|<tformat|<table|<row|<cell|v<rsub|1>\<rightarrow\>f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|1>|)>>>|<row|<cell|*\<vdots\>>>|<row|<cell|v<rsub|p>\<rightarrow\>f<rsub|\<diamond\>><around*|(|a,b,s,s<rsub|p>|)>>>>>>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  (o� <math|\<nu\>> correspond � soit une �toile soit pas d'�toile)

  (les autres cas se font par appel r�cursif encore une fois comme dans le
  cas de l'union)

  Puis une fonction de d�tection des cas nouveaux par rapport � une valeur
  pr�c�dente :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<oast\><rsub|s<rsub|0>><around*|(|s|)>>|<cell|=>|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,s|)>>>|<row|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,V<around*|(|t|)><rsub|i>|)>>|<cell|=>|<cell|<choice|<tformat|<table|<row|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>>|<cell|si
    <around*|(|\<rho\><around*|(|t,s|)>\<sqcap\>s|)>\<nsqsubseteq\>s<rsub|0>>>|<row|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i>>|<cell|sinon>>>>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>|)>>|<cell|=>|<cell|V<around*|(|t|)><rsub|i><rsup|\<ast\>>>>|<row|<cell|f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>s<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>s<rsub|p>|)>|)>>|<cell|=>|<cell|C<around*|(|x<rsub|i>,v<rsub|1>\<rightarrow\>f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,s<rsub|1>|)><rsub|>,\<ldots\>,v<rsub|p>\<rightarrow\>f<rsub|\<oast\>><around*|(|s<rsub|0>,s,s<rsub|p>|)>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  Nous sommes maintenant en mesure de d�crire le processus d'it�rations
  chaotiques � proprement parler. On commence avec :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|0>>|<cell|=>|<cell|\<oast\><rsub|\<bot\>>
    S<rsub|0><rsup|#>>>>>
  </eqnarray*>

  (appliquer <math|\<oast\>> de la sorte permet de faire que toutes les
  feuilles soient �toil�es)

  Puis pour les<math|> it�rations, deux cas :

  <\itemize>
    <item>Si il existe <math|V<around*|(|t<rsub|0>|)><rsup|\<ast\>><rsub|i>>
    une feuille �toil�e dans <math|s<rsub|n>> : on marque
    <math|s<rsub|n><rprime|'>> l'arbre <math|s<rsub|n>> o� toutes les
    feuilles <math|V<around*|(|t<rsub|0>|)>> sont d�-�toil�es, puis :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|c<rsub|n>>|<cell|=>|<cell|\<rho\><around*|(|t<rsub|0>,s<rsub|n>|)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>>|<cell|=>|<cell|lfp<rsub|c<rsub|n>\<sqcap\>s<rsub|n>><around*|(|\<lambda\>i.c<rsub|n>\<sqcap\><around*|(|s<rsub|n>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|i|)>|)>|)>>>|<row|<cell|D<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|D<rsub|n+1><rsup|0>\<sqcup\>g<rsup|#><around*|(|D<rsub|n+1><rsup|0>|)>>>|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<oast\><rsub|s<rsub|n><rprime|'>><around*|(|s<rsub|n><rprime|'>
      \<diamond\> D<rsub|n+1>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    (o� le point fixe <math|D<rsub|n+1><rsup|0>> est fait en faisant appel �
    <math|\<sqcup\>> et <math|\<nabla\>> d�finis pr�c�demment, avec un d�lai
    de widening convenable)

    Dans tous les cas, on refait une it�ration. Les �toiles finiront bien par
    dispara�tre.

    <item>Si il n'existe pas de telle feuille �toil�e dans <math|s<rsub|n>> :

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|s<rsub|n+1>>|<cell|=>|<cell|\<oast\><rsub|s<rsub|n>><around*|(|s<rsub|n>
      \<diamond\> g<rsup|#><around*|(|s<rsub|n>|)>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    Dans ce cas, on s'arr�te si <math|s<rsub|n+1>=s<rsub|n>>.
  </itemize>

  <subsection|Partitionnement dynamique>

  Une autre approche � base de partitionnement dynamique a �t� tent�e (cette
  approche est d�crite dans <cite|jhrsas99>)<math|>, mais elle n'a pas donn�
  de tr�s bons r�sultats par manque d'une heuristique sur les
  partitionnements � effectuer.

  L'id�e de base consiste � se donner une liste de conditions
  <math|d<rsub|1>,d<rsub|2>,\<ldots\>,d<rsub|n>> qui d�finissent <math|n>
  parties de <math|S<rsup|#>> (en principe disjointes, mais les
  approximations m�nent parfois � des recoupenents). On �tudie les parties
  (ou <em|lieux>) <math|S<rsub|i><rsup|#>=<around*|\<llbracket\>|d<rsub|i>|\<rrbracket\>><around*|(|S<rsup|#>|)>>
  comme un syst�me de transitions pour lequel on calcule un point fixe par
  it�rations chaotiques.

  Les conditions <math|d<rsub|i>> sont donn�es par une heuristique qui
  d�coupe � chaque rafinement un des lieux <math|S<rsub|i><rsup|#>> en
  plusieurs sous-lieux.

  <paragraph|D�coupage de base.>Le d�coupage de base est g�n�ralement : init
  ; non init et propri�t� v�rifi�e ; non init et propri�t� non v�rifi�e.

  <paragraph|Rafinement.>On note <math|S<rsub|i><rsup|#>\<rightarrow\>S<rsup|#><rsub|j>>
  si dans notre sur-approximation on peut �tre � un cycle dans
  <math|S<rsub|i><rsup|#>> et dans le suivant dans <math|S<rsub|j><rsup|#>>.

  On recherche un lieu <math|S<rsub|i><rsup|#>> et une condition <math|c>
  apparaissant dans le programme (ou la n�gation d'une telle condition) tel
  qu'il existe un �tat <math|S<rsub|j><rsup|#>> ayant les propri�t�s
  suivantes :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|S<rsub|j><rsup|#>>|<cell|\<rightarrow\>>|<cell|S<rsub|i><rsup|#>>>|<row|<cell|S<rsub|j><rsup|#>>|<cell|\<nrightarrow\>>|<cell|<around*|\<llbracket\>|c|\<rrbracket\>>S<rsub|i><rsup|#>>>>>
  </eqnarray*>

  On peut aussi le faire dans l'autre sens :

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|S<rsub|i><rsup|#>>|<cell|\<rightarrow\>>|<cell|S<rsub|j><rsup|#>>>|<row|<cell|<around*|\<llbracket\>|c|\<rrbracket\>>S<rsub|i><rsup|#>>|<cell|\<nrightarrow\>>|<cell|S<rsub|j><rsup|#>>>>>
  </eqnarray*>

  Si une telle condition est d�tect�e, alors on peut diviser le lieu
  <math|S<rsub|i><rsup|#>> en deux parties,
  <math|<around*|\<llbracket\>|c|\<rrbracket\>>S<rsub|i><rsup|#>> et
  <math|<around*|\<llbracket\>|\<neg\>c|\<rrbracket\>>S<rsub|i><rsup|#>>,
  c'est-�-dire qu'on pose comme nouvelles d�finitions
  <math|d<rsub|1>,\<ldots\>,d<rsub|i-1>,c\<wedge\>d<rsub|i>,\<neg\>c\<wedge\>d<rsub|i>,d<rsub|i+1>,\<ldots\>,d<rsub|n>>.
  On refait ensuite un point fixe. Notre analyse est en principe plus fine,
  donc on esp�re trouver des lieux inacessibles.

  <subparagraph|Observations.>En pratique �a ne marche pas tr�s bien car les
  rafinements ne sont pas effectu�s dans le bon ordre. Dans le papier
  sus-cit�, une double analyse en avant et en arri�re �tait utilis�e pour
  trouver l'intersection des valeurs accessibles depuis l'�tat initial et
  co-accessibles jusqu'� un �tat qui provoque une erreur (ie dont la
  d�finition est : la propri�t� est viol�e), mais nous n'avons pas tent�
  d'impl�menter une telle analyse, qui serait sans doute bien plus pr�cise.
  Remarquons que l'impl�mentation de <name|B.Jeannet> pour LUSTRE est
  disponnible sur sa page web (c'est l'outil NBac).

  <section|Impl�mentation>

  Le projet scade-analyzer propose une impl�mentation simple des composants
  suivants :

  <\itemize>
    <item>lexer, parser, typeur symple pour notre sous-ensemble de SCADE
    (source des fichiers dans <verbatim|frontend/>)

    <item>interpr�te pour la s�mantique concr�te
    (<verbatim|interpret/interpret.ml>)

    <item>impl�mentation de la transformation d'un programme en formule
    logique ; quelques simplifications sur les formules logiques
    (<verbatim|abstract/formula.ml>, <verbatim|abstract/transform.ml>).

    <item>trois domaines num�riques bas�s sur Apron : intervalles, poly�dres
    et octogones (<verbatim|abstract/apron_domain.ml>)

    <item>vestige d'une impl�mentation \S maison \T d'un domaine
    non-relationnel � base d'intervalles (<verbatim|abstract/num_domain.ml>,
    <verbatim|abstract/nonrelational.ml>,
    <verbatim|abstract/value_domain.ml>, <verbatim|abstract/intervals_domain.ml>)

    <item>deux domaines abstraits � disjonctions et proc�dures d'analyse
    statique correspondantes (<verbatim|abstract/abs_interp.ml>,
    <verbatim|abstract/abs_interp_edd.ml>)

    <item>proc�dure d'analyse par partitionnement dynamique
    (<verbatim|abstract/abs_interp_dynpart.ml>)
  </itemize>

  En nous basant sur les options de la ligne de commande, nous allons
  maintenant d�crire les diff�rentes fonctionnalit�s.

  <subsection|Parsing et affichage de programmes SCADE>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--dump> : parse un fichier SCADE et le r�-affiche en
    sortie

    <item><verbatim|--dump-rn> : parse un fichier SCADE et le r�-affiche en
    sortie, apr�s une �tape de renommage qui consiste � rendre les noms
    unique au sein d'un noeud. Cette passe est impl�ment�e dans
    <verbatim|frontend/rename.ml>.
  </itemize>

  <subsection|Interpr�te SCADE>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--test> : execute le programme SCADE donn� en argument,
    avec l'interpr�te <verbatim|interpret/interpret.ml> bas� sur la
    s�mantique � r�duction. Le programme doit satisfaire la sp�cification
    suivante : avoir un noeud <verbatim|test> qui servira de racine, ce noeud
    devant prendre une unique entr�e, <verbatim|i>, qui est un compteur
    incr�ment� � chaque cycle, et renvoyant trois entiers, <verbatim|a>,
    <verbatim|b> et <verbatim|c> (qui seront affich�s en sortie), ainsi qu'un
    booleen <verbatim|exit> qui indiquera que l'interpr�te doit terminer. Cf
    fichiers dans <verbatim|tests/source/*.scade> pour des exemples.

    <item><verbatim|--vtest> : pareil mais affiche plus de d�tails (tout le
    contenu de la m�moire est affich� � chaque cycle).
  </itemize>

  <subsection|Analyse statique par interpr�tation abstraite>

  <subsubsection|Domaine � disjonctions simples>

  Cette analyse est impl�ment�e dans <verbatim|abstract/abs_interp.ml>.

  <paragraph|Modes d'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--ai-itv> : fait une passe d'analyse statique par
    interpr�tation abstraite utilisant le domaine � disjonctions simples, et
    en s'appuyant sur le domaine non-relationnel � base d'intervalles pour la
    partie num�rique

    <item><verbatim|--ai-poly> : de m�me mais utilise le domaine abstrait
    relationnel bas� sur les poly�dres d'Apron pour la partie num�rique

    <item><verbatim|--ai-oct> : de m�me mais utilise les octogones
  </itemize>

  <paragraph|Options de l'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--root \<less\>noeud\<gtr\>> : sp�cifie le noeud racine
    dont on veut faire l'analyse (par d�faut : <verbatim|test>)

    <item><verbatim|--ai-vci> : affiche des d�tails sur le contenu de
    l'accumulateur � chaque it�ration

    <item><verbatim|--ai-vvci> : affiche encore plus de d�tails

    <item><verbatim|--ai-wd \<less\>n\<gtr\>> : d�finit un d�lai pour les
    op�rations de widening (par d�faut 5). Ce d�lai est utilis� � deux
    endroits diff�rents de l'analyse : pour le point fixe local de chaque
    it�ration chaotique, et pour le point fixe global des it�rations.

    <item><verbatim|--disj \<less\>vars\<gtr\>> : variables � utiliser comme
    variables de disjonction (par d�faut : aucune). Donner comme argument
    <verbatim|all> permet d'utiliser toutes les variables �num�r�es pour les
    disjonctions. Donner comme argument <strong|<verbatim|last>> permet
    d'utilsier toutes les variables �num�r�es qui sont utilis�es dans une
    m�moire. On peut aussi utiliser la syntaxe <verbatim|last+v1,v2,v3> pour
    rajouter des variables aux variables m�moire.

    <item><verbatim|--no-time \<less\>scopes\<gtr\>> : donne un certain
    nombre de scopes pour lesquels ne pas introduire de variable
    <verbatim|time> (par d�faut <verbatim|all>, c'est-�-dire que
    <verbatim|time> n'est jamais introduite). Lorsqu'une variable
    <verbatim|time> est introduite, on g�n�re les �quations qui font en sorte
    que <verbatim|time> soit �gal au num�ro du cycle depuis le d�but de
    l'ex�cution du programme.

    <item><verbatim|--init \<less\>scopes\<gtr\>> : donne un certain nombre
    de scopes pour lesquels introduire une variable <verbatim|init> (par
    d�faut <verbatim|all>). Il est envisageable de remplacer la variable
    <verbatim|init> de chaque scope par une variable <verbatim|time>, les
    disjonctions de cas init/non init se feront alors selon la condition
    <math|time=0> ou <math|time\<geqslant\>1>. En ne g�n�rant ni variable
    <verbatim|time> ni variable <verbatim|init>, la disjonction n'est pas
    faite.
  </itemize>

  <subsubsection|Domaine � disjonction par graphe de d�cision>

  Cette analyse est impl�ment�e dans <verbatim|abstract/abs_interp_edd.ml>.

  <paragraph|Modes d'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--ai-itv-edd> : fait une passe d'analyse statique
    utilisant le domaine � base d'EDD et en utilisant les intervalles comme
    domaine de valeurs num�riques

    <item><verbatim|--ai-poly-edd> : de m�me mais utilise le domaine abstrait
    relationnel bas� sur les poly�dres d'Apron pour la partie num�rique

    <item><verbatim|--ai-oct-edd> : de m�me mais utilise les octogones
  </itemize>

  <paragraph|Options de l'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--root>

    <item><verbatim|--ai-vci>, <verbatim|--ai-vvci>

    <item><verbatim|--ai-wd>

    <item><verbatim|--no-time>, <verbatim|--init>

    <item>Non impl�ment� : param�tre <verbatim|--disj> pouvant intervenir sur
    le choix des variables � consid�rer dans le graphe de d�cision
    (actuellement toutes sont n�cessairement consid�r�es).
  </itemize>

  <subsubsection|Analyse par partitionnement dynamique>

  Cette analyse est impl�ment�e dans <verbatim|abstract/abs_interp_dynpart.ml>.

  <paragraph|Modes d'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--ai-s-itv-dp> : analyse par partitionnement dynamique,
    utilise un domaine simple non-relationnel pour les valeurs �num�r�es et
    les intervalles pour la partie num�rique

    <item><verbatim|--ai-edd-itv-dp> : analyse par partitionnement dynamique,
    utilise des graphes de d�cision pour repr�senter les conditions sur les
    �num�r�es et les intervalles pour la partie num�rique

    <item><verbatim|--ai-s-rel-dp> : utilise les poly�dres d'Apron

    <item><verbatim|--ai-edd-rel-dp>
  </itemize>

  <paragraph|Param�tres de l'analyse>

  <\itemize>
    <item><verbatim|--root>

    <item><verbatim|--ai-wd>

    <item><verbatim|--ai-vci>, <verbatim|--ai-vvci>

    <item><verbatim|--no-time>, <verbatim|--init>

    <item><verbatim|--ai-max-dp-depth> : profondeur maximale de
    partitionnement

    <item><verbatim|--ai-max-dp-width> : largeur maximale de partitionnement
    (ie nombre maximal de parties � consid�rer)
  </itemize>

  <section|Prolongements envisageables>

  <subsection|Analyse des propri�t�s des nombres flottants>

  <\itemize>
    <item>Utiliser un op�rateur de widening apropri� (cf Astr�e)

    <item>Impl�menter la s�mantique des nombres flottants machine (ce qui
    n'est pas simple)
  </itemize>

  <subsection|Analyse de programmes \S taille r�elle \T>

  <\itemize>
    <item>Modification du domaine EDD pour pouvoir ne prendre en compte
    qu'une partie des variables �num�r�es (pour l'instant elles sont toutes
    consid�r�es, ce n'est pas param�trable). Permettre que les feuilles
    contiennent �galement des informations non-relationnelles sur les
    variables de type �num�r�.

    <item>Analyse de base avec des intervalles, plus des \S packs \T de
    variables trait�s avec des domaines plus puissants (octagones,
    polyh�dres, domaines � disjonctions)

    <item>Analyse par contrats : abstraire certains noeuds par les garanties
    que v�rifient les sorties, plut�t que de consid�rer le noeud en entr�e.
    En �change, il faut que l'on v�rifie que les propri�t�s en entr�e
    (assume) sont bien vraies.

    <item>L'ordre des �quations dans le programme semble avoir un impact sur
    l'analyse : si celles-ci sont �crites dans l'ordre o� elles seront
    effectivement ex�cut�es (ie tri�es par ordre de d�pendance), l'analyse
    semble gagner en pr�cision. Impl�menter une passe de scheduling
    (approximatif : on ne veut pas diviser les automates, les blocs activate,
    ...) que l'on ex�cuterait comme pr�-processing sur le programme.
  </itemize>

  <\bibliography|bib|tm-plain|research.bib>
    <\bib-list|5>
      <bibitem*|1><label|bib-blanchetEtAl-PLDI03>B.<nbsp>Blanchet,
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      <bibitem*|5><label|bib-jhrsas99>B.<nbsp>Jeannet,
      N.<nbsp>Halbwachs<localize| and >P.<nbsp>Raymond.<newblock> Dynamic
      partitioning in analyses of numerical properties.<newblock>
      <localize|In ><with|font-shape|italic|Static Analysis Symposium,
      SAS'99>. Venezia (Italy), sep 1999.<newblock>
    </bib-list>
  </bibliography>

  \;
</body>

<\initial>
  <\collection>
    <associate|language|french>
  </collection>
</initial>

<\references>
  <\collection>
    <associate|auto-1|<tuple|1|1>>
    <associate|auto-10|<tuple|2.3.5|4>>
    <associate|auto-11|<tuple|2.3.6|4>>
    <associate|auto-12|<tuple|2.3.7|4>>
    <associate|auto-13|<tuple|2.4|6>>
    <associate|auto-14|<tuple|2.4.1|6>>
    <associate|auto-15|<tuple|2.4.2|7>>
    <associate|auto-16|<tuple|3|7>>
    <associate|auto-17|<tuple|4|8>>
    <associate|auto-18|<tuple|4.1|8>>
    <associate|auto-19|<tuple|4.1.1|8>>
    <associate|auto-2|<tuple|2|1>>
    <associate|auto-20|<tuple|4.1.2|9>>
    <associate|auto-21|<tuple|4.2|9>>
    <associate|auto-22|<tuple|5|11>>
    <associate|auto-23|<tuple|5.1|11>>
    <associate|auto-24|<tuple|5.2|13>>
    <associate|auto-25|<tuple|5.2.1|14>>
    <associate|auto-26|<tuple|5.2.2|14>>
    <associate|auto-27|<tuple|5.2.3|14>>
    <associate|auto-28|<tuple|5.2.4|15>>
    <associate|auto-29|<tuple|5.2.5|16>>
    <associate|auto-3|<tuple|2.1|1>>
    <associate|auto-30|<tuple|5.2.3.3|?>>
    <associate|auto-31|<tuple|5.2.5.2|16>>
    <associate|auto-32|<tuple|5.3|17>>
    <associate|auto-33|<tuple|5.3.0.3|17>>
    <associate|auto-34|<tuple|5.3.0.4|17>>
    <associate|auto-35|<tuple|5.3.0.4.1|17>>
    <associate|auto-36|<tuple|6|17>>
    <associate|auto-37|<tuple|6.1|18>>
    <associate|auto-38|<tuple|6.2|18>>
    <associate|auto-39|<tuple|6.3|18>>
    <associate|auto-4|<tuple|2.2|2>>
    <associate|auto-40|<tuple|6.3.1|18>>
    <associate|auto-41|<tuple|6.3.1.1|18>>
    <associate|auto-42|<tuple|6.3.1.2|18>>
    <associate|auto-43|<tuple|6.3.2|19>>
    <associate|auto-44|<tuple|6.3.2.1|19>>
    <associate|auto-45|<tuple|6.3.2.2|19>>
    <associate|auto-46|<tuple|6.3.3|19>>
    <associate|auto-47|<tuple|6.3.3.1|19>>
    <associate|auto-48|<tuple|6.3.3.2|19>>
    <associate|auto-49|<tuple|7|19>>
    <associate|auto-5|<tuple|2.3|3>>
    <associate|auto-50|<tuple|7.1|19>>
    <associate|auto-51|<tuple|7.2|20>>
    <associate|auto-52|<tuple|<with|mode|<quote|math>|\<bullet\>>|20>>
    <associate|auto-53|<tuple|3|20>>
    <associate|auto-6|<tuple|2.3.1|3>>
    <associate|auto-7|<tuple|2.3.2|3>>
    <associate|auto-8|<tuple|2.3.3|3>>
    <associate|auto-9|<tuple|2.3.4|4>>
    <associate|bib-blanchetEtAl-PLDI03|<tuple|1|?>>
    <associate|bib-cousotCousot79-1|<tuple|2|?>>
    <associate|bib-halbwachs94c|<tuple|3|?>>
    <associate|bib-jhrsas99|<tuple|5|?>>
    <associate|bib-lesartse|<tuple|4|?>>
  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|bib>
      blanchetEtAl-PLDI03

      cousotCousot79-1

      halbwachs94c

      lesartse

      jhrsas99

      jhrsas99
    </associate>
    <\associate|toc>
      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|1<space|2spc>Introduction>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|2<space|2spc>Sp�cification>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-2><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.1<space|2spc>Grammaire
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-3>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.2<space|2spc>S�mantique concr�te
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-4>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.3<space|2spc>S�mantique par r�duction
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-5>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.1<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      l'activation du scope racine <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-6>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.2<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      l'init dans tous les scopes <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-7>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.3<space|2spc>R�gles de r�duction
      d'expressions <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-8>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.4<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les pre <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-9>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.5<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les d�finitions de variables <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-10>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.6<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les blocs activate <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-11>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.3.7<space|2spc>R�gles de r�duction pour
      les automates <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-12>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|2.4<space|2spc>S�mantique par traduction,
      r�gles de traduction <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-13>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.4.1<space|2spc>Traduction des expressions
      num�riques et bool�ennes <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-14>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|2.4.2<space|2spc>Traduction de scopes et de
      programmes <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-15>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|3<space|2spc>Interpr�te
      pour s�mantique concr�te> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-16><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|4<space|2spc>Interpr�tation
      abstraite> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-17><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|4.1<space|2spc>S�mantique collectrice
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-18>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|4.1.1<space|2spc>Nouvelle notation :
      fonction de transition <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-19>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|4.1.2<space|2spc>Suppression des entr�es,
      s�mantique collectrice <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-20>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|4.2<space|2spc>G�n�ralit�s sur
      l'interpr�tation abstraite <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-21>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|5<space|2spc>Domaines
      abstraits et disjonction de cas> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-22><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|5.1<space|2spc>Domaine � disjonction
      simple <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-23>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|5.2<space|2spc>Domaine � graphe de
      d�cision <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-24>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|5.2.1<space|2spc>Variables et contraintes
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-25>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|5.2.2<space|2spc>Domaine num�rique
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-26>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|5.2.3<space|2spc>Les EDD
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-27>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|5.2.4<space|2spc>Op�rateur de widening
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-28>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|5.2.5<space|2spc><assign|paragraph-numbered|<quote|false>><assign|paragraph-prefix|<quote|<macro|<compound|the-paragraph>.>>><assign|paragraph-nr|<quote|1>><hidden|<tuple>><assign|subparagraph-nr|<quote|0>><flag|table
      des mati�res|dark green|what><assign|auto-nr|<quote|30>><label|auto-30><write|toc|<with|par-left|<quote|6fn>|It�rations
      chaotiques. <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-30><vspace|0.15fn>>><no-indent><with|math-font-series|<quote|bold>|font-series|<quote|bold>|<vspace*|0.5fn>It�rations
      chaotiques.<space|2spc>> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-30>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|It�rations chaotiques.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-31><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|5.3<space|2spc>Partitionnement dynamique
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-32>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|D�coupage de base.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-33><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Rafinement.
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-34><vspace|0.15fn>>

      Observations. <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-35><vspace|0.15fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|6<space|2spc>Impl�mentation>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-36><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|6.1<space|2spc>Parsing et affichage de
      programmes SCADE <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-37>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|6.2<space|2spc>Interpr�te SCADE
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-38>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|6.3<space|2spc>Analyse statique par
      interpr�tation abstraite <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-39>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|6.3.1<space|2spc>Domaine � disjonctions
      simples <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-40>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Modes d'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-41><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Options de l'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-42><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|6.3.2<space|2spc>Domaine � disjonction par
      graphe de d�cision <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-43>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Modes d'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-44><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Options de l'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-45><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|6.3.3<space|2spc>Analyse par partitionnement
      dynamique <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-46>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Modes d'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-47><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Param�tres de l'analyse
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-48><vspace|0.15fn>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|7<space|2spc>Prolongements
      envisageables> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-49><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|7.1<space|2spc>Analyse des propri�t�s des
      nombres flottants <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-50>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|7.2<space|2spc>Analyse de programmes \S
      taille r�elle \T <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-51>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Bibliographie>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-52><vspace|0.5fn>
    </associate>
  </collection>
</auxiliary>